Filtro de RLC de segundo orden y opción de resistencia de carga

Su selección \ $ R_g = R_L = \ sqrt {L / C} \ $ da un par de polos complejo-conjugado con un factor de calidad \ $ Q_p = 0.707 \ $ . Por lo tanto, este dimensionamiento le proporciona un paso bajo pasivo de segundo orden con respuesta Butterworth (máxima plana). Más que eso, se puede demostrar que para cada estructura de escalera pasiva (y su circuito es la forma más simple de una escalera) la sensibilidad a las tolerancias de las partes se encuentra en su mínimo teórico para \ $ R_g = R_L \ $ (terminaciones de entrada y salida coincidentes).

  

" ¿Los polos conjugados complejos tienen una posición particular? "

Sí: la posición del par de polos tiene una propiedad extraordinaria: los polos están ubicados en el plano \ $ s \ $ - complejo con una parte real (negativa) que es idéntica a la parte imaginaria (Re = Img). Por lo tanto, hay un ángulo de \ $ 45 ^ {\ circ} \ $ entre una línea que apunta al polo y el eje real.

ACTUALIZACIÓN: La función clásica de segundo orden es \ $ H (s) = N (s) / D (s) \ $ . Para un paso bajo tenemos \ $ N (s) = A_o \ $ (ganancia en \ $ \ omega = 0 \ $) y \ $ D (s) = [1 + s / (\ omega_pQ_p) + (s / \ omega_p) ^ 2] \ $ .

Para encontrar el máximo de \ $ H (s) \ $ tenemos que escribir la magnitud de la función compleja \ $ H (s = j \ omega) \ $. Como paso siguiente, encontramos la primera derivación (cociente diferencial) y la ponemos a cero. Entonces encontramos la frecuencia \ $ \ omega \ $, máx. Donde \ $ | H (j \ omega) | \ $ tiene su máximo - e insertando esta frecuencia \ $ \ omega \ $, max en la expresión para la magnitud \ $ | H (j \ omega) | \ $ encontramos el VALOR del máximo, que es: $$|H ,\text{max}|=\frac{A_oQ_p}{\sqrt{1-1/(2Q_p )^2}}$$

De estas expresiones podemos deducir que tenemos \ $ \ omega \ $, max = 0 y \ $ | H, \ text {max} | = A_o \ $ para el caso especial \ $ Q_p = \ sqrt {0.5} = 0.7071 \ $ . Esto permite la siguiente interpretación:

Para \ $ Q_p = 0.7071 \ $ no hay picos de amplitud y el máximo se alcanza en \ $ \ omega = 0 \ $. Más que eso, la respuesta de magnitud para este filtro de segundo orden tiene una característica de "máxima plana" (respuesta de Butterworth).

Creo que estás en el camino correcto: ¡polos!

En el filtrado, generalmente desea una región con la menor pérdida posible y otra región con la mayor pérdida posible. En su diagrama de bode, cada polo de paso bajo creará una rodilla en la curva donde la pendiente cae en 10 dB / década. Por lo tanto, para un filtro de orden múltiple, tener todos sus polos esencialmente en la misma frecuencia le dará la rodilla más inclinada que separa sus regiones de banda de paso y banda de parada.

Tenga en cuenta que su denominador ahora solo puede tener un +1 (no +2) si compara la salida de la fuente (pasada la impedancia de la fuente, Rg) a la salida de carga final. Con un final de +1, su denominador puede ser factorizado en (s * sqrt (LC) +1) ^ 2, y voila tiene dos polos exactamente s = 1 / sqrt (LC)

El coeficiente de amortiguamiento, \ $ \ zeta = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} \ $, que es el valor más bajo posible de \ $ \ zeta \ $ que no produce un pico de resonancia de amplitud; es decir, proporciona la esquina más nítida en la respuesta de frecuencia de amplitud con una relación de amplitud de unidad en resonancia.