Sistema trifásico - factor de potencia

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Necesito ayuda con el siguiente problema:

Dado el sistema trifásico simétrico (ver adjunto) de voltajes de fase con frecuencia angular ω=100rad/s , R = 5ωL = 100Ω . Encuentre la capacitancia del condensador C de manera que el factor de potencia del receptor trifásico tenga un valor máximo.

DespuésdelatransformacióndeloscondensadoresYaΔ(verarchivoadjunto),seasigna$$C_1=C/3.$$

Ahoratenemosunaconexión<deimpedanciaZqueesunparalelodeR,j5ωLyC1.Dejeque$$\subraye{Z_1}=R+j5\omegaL.$$DelosdatosdadospodemosencontrarqueL=0.2H.Estoledaa$$\underline{Z_1}=100(1+j)\Omega.$$Ahora

$$\underline{Z}=\frac{\underline{Z_1}\cdot(-jX_{C_1})}{\underline{Z_1}+(-jX_{C_1})}=\frac{300(3+j(3−2⋅10^4C))}{2⋅10^8C^2−6⋅10^4C+9}\Omega$$

AhoratenemosunsistematrifásicoconreceptorenlaconexiónΔ(verarchivoadjunto):

Despuésdelatransformación(veradjunto)deΔaY,obtenemosunanuevaimpedancia:$$\underline{Z_2}=\frac{\underline{Z}}{3}=\frac{100(3+j(3−2⋅10^4C))}{2⋅10^8C^2−6⋅10^4C+9}\Omega.$$

Vamos

$$\underline{Z_3}=\underline{Z_2}+jX_L=\underline{Z_2}+j20=\frac{20(15+j8(3−2⋅10^4C+25⋅10^6C^2))}{2⋅10^8C^2−6⋅10^4C+9}\Omega.$$AhoratenemosunaconexióndereceptorYlimpiaconimpedanciaZ3(verarchivoadjunto):

Pregunta : No se nos da ningún valor para el voltaje, la corriente o la potencia, por lo tanto, cómo expresar el factor de potencia cosϕ sin saber nada de esos valores?

EDIT : El factor de potencia se puede expresar mediante $$ \ cos \ phi = \ frac {\ mathfrak {R} (\ underline {S})} {\ sqrt {P ^ 2 + Q ^ 2}} $$ donde $$ \ underline { S} $$ es una potencia aparente compleja, P está activa y Q es una potencia reactiva. El factor de potencia tiene un valor máximo cuando la potencia reactiva tiende a cero. Como solo conocemos la impedancia, podemos observar la parte imaginaria de la impedancia Z3 . Si introducimos una función $$ f (C) = \ frac {160 (25 \ cdot 10 ^ 6C ^ 2-2 \ cdot 10 ^ 4C + 3)} {2⋅10 ^ 8C ^ 2−6⋅10 ^ 4C +9} $$, el valor mínimo de f (C) es $$ \ frac {-40} {3} $$ en $$ C = 3 \ cdot 10 ^ {- 4} F. $$ Por lo tanto, el factor de potencia máxima es para C = 0.0003F .

Pregunta : ¿Es correcto?

    
pregunta user300048

2 respuestas

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La respuesta correcta se obtiene haciendo el valor absoluto de la parte imaginaria de la impedancia equivalente total lo más pequeño posible (la explicación se encuentra a continuación). Si es posible, hágalo cero, ya que esto producirá el máximo factor de potencia posible, que es uno.

En su caso, asumiendo que hizo todas las conversiones delta-wye y wye-delta correctamente (no lo verifiqué), entonces la respuesta correcta se obtiene configurando la parte imaginaria de \ $ Z_3 \ $ a cero es decir: $$ 25⋅10 ^ 6 C ^ 2 - 2⋅10 ^ 4 C + 3 = 0 $$ lo cual, como mencionas en los comentarios a otra respuesta, produce dos soluciones válidas, \ $ C = 6 · 10 ^ {- 4} F \ $ y \ $ C = 2 · 10 ^ {- 4} F \ $. Si esta ecuación no tuviera raíces positivas, tendría que buscar un mínimo de su valor absoluto.

Explicación

Cuando las personas hablan sobre el factor de potencia de un dispositivo determinado sin ninguna referencia al voltaje y la corriente que se le aplican, implícitamente están pensando en conectarlo a una fuente de voltaje ideal \ $ V \ $. La expresión de la potencia aparente consumida por el dispositivo en este circuito simple es \ $ S = V I ^ * \ $, y la potencia real \ $ P \ $ es solo la parte real de \ $ S \ $. El factor de potencia se define como: $$ \ cos \ phi = \ frac {P} {| S |} $$ Por la ley de Ohm, \ $ V = IZ \ $, por lo tanto, \ $ S = V I ^ * = | I | ^ 2 Z = | I | ^ 2 R + j | I | ^ 2 X \ $. Así que el factor de potencia se puede escribir como: $$ \ cos \ phi = \ frac {| I | ^ 2 R} {| I | ^ 2 \ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2}} = \ frac {R} {\ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2 }} $$ Como puede ver, ni el voltaje ni la corriente aparecen en la expresión final. Además, para maximizar el factor de potencia (la pregunta original), resulta obvio que debe minimizar \ $ | X | \ $. Para ser más precisos, lo que maximiza el factor de potencia es la minimización de la relación \ $ | X | / R \ $, porque si dividimos tanto el numerador como el denominador por R, obtenemos: $$ \ cos \ phi = \ frac {R} {\ sqrt {R ^ 2 + X ^ 2}} = \ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ frac {X} {R}) ^ 2}} $$

    
respondido por el J L Marin
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Sugerencias: -

Hiciste lo correcto y convertiste la estrella C en delta C y ahora tienes que resolver un problema de circuito resonante paralelo. Sí, eso suena como un programa de radio, pero hacer que el PF se una en la unidad es lo mismo que ajustar un circuito sintonizado para la resonancia.

Entonces, busca resolver la impedancia de las series R y L en paralelo con C: resuelva para obtener un valor puramente resistivo. Es aproximadamente la mitad de una página de matemáticas.

    
respondido por el Andy aka

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