Descarga de un condensador a través de una resistencia y un LED en serie

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Suponga que tiene un condensador de capacidad \ $ C \ $ y voltaje inicial \ $ U_0 \ $, una resistencia \ $ R \ $ y un LED con voltaje de umbral \ $ U_S \ $ (\ $ U_0 > U_S \ $) en serie .

Ahora quiero calcular la duración \ $ \ tau \ $ donde se enciende el led.

Mi intuición fue que el efecto del LED debería ser pequeño en este caso y puedo usar solo la fórmula habitual para la descarga del condensador \ $ U (t) = U_0 e ^ {- \ frac {t} {RC}} PS Entonces supongo que el LED se enciende hasta que la tensión alcanza el valor \ $ U_0 \ $, es decir, tengo que resolver la ecuación \ $ U (\ tau) = U_0 \ $ que conduce por álgebra elemental a \ $ \ tau = - RC \ ln \ left (\ frac {U_S} {U_0} \ right) \ $.

Sin embargo, no estoy seguro si mi intuición es correcta y cómo dar razones para ello. Entonces, ¿hay un buen argumento simple, por qué la aproximación anterior o una aproximación similar (correcta) es válida?

Mi segunda pregunta es sobre cómo derivar esto (o una aproximación correcta similar) de los primeros principios.

Mi idea fue establecer una ecuación diferencial como la siguiente:

$$ C \ frac {dU (t)} {dt} = -I (t) $$

Y ponga para \ $ I (t) \ $ la fórmula para la corriente a través del diodo que encontré en enlace que involucra la función de Lambert-W. Sin embargo, es bastante complicado y no sé cómo resolver esta ecuación diferencial y cómo hacer aproximaciones razonables (en el mejor de los casos con límites para errores).

PS: He encontrado este documento: enlace que analiza el problema en el caso cuando solo El diodo está presente. Pero no tiene en cuenta la resistencia en serie.

Editar: si asumo aproximadamente que el diodo tiene el voltaje \ $ U_S \ $ todo el tiempo, después de resolver la ecuación diferencial correspondiente, termino con algo como \ $ U (t) = U_S + (U_0 - U_S) e ^ {- \ frac {t} {RC}} \ $ lo que parece no tener sentido porque \ $ U_S \ $ es un límite inferior (que en realidad ya estaba en el supuesto ... ). Así que sería genial si alguien pudiera aclarar todo el lío aquí ...

    
pregunta Anna

2 respuestas

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No leí toda tu pregunta, que parecía hacer todo lo posible para complicar las cosas. Según tengo entendido, usted tiene un capacitor, una resistencia y un LED, todos en serie, y quiere saber cómo se deterioran las cosas si el capacitor comienza a cargarse inicialmente.

En la primera aproximación, puede considerar el LED como una fuente de voltaje. Eso significa que la corriente disminuirá como si el LED no estuviera allí y la tapa estuviera cargada hasta el voltaje del LED menos de lo que realmente era. Este es ahora un sistema simple de R-C que sigue una caída exponencial básica con una constante de tiempo de RC, que parece que ya comprendes. La pregunta de cuándo se apaga el LED se reduce a qué corriente considera que el brillo es lo suficientemente bajo como para apagarse. Esto puede variar mucho según la eficiencia del LED, el nivel de luz ambiental y qué tan obvio debe ser el "encendido". Por ejemplo, si la tapa se carga inicialmente de modo que la corriente inicial es de 20 mA (un máximo común para los LED) y considera que 1 mA es el nivel de "apagado", entonces el tiempo de encendido será el tiempo de caída del 95%, que es 3.0 constantes de tiempo.

Como dije, esta fue la primera aproximación básica donde el LED tiene un voltaje fijo a través de él. Eso será en gran parte cierto, pero, por supuesto, su voltaje bajará con la corriente. Para propósitos prácticos, este es un efecto pequeño comparado con la pendiente de decidir qué nivel actual de "desactivado" es realmente, a menos que esa corriente sea pequeña, como menos que un mA.

    
respondido por el Olin Lathrop
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La respuesta de Olin te dice cómo pensarías esto en el mundo real. Pero configura esto como un problema de álgebra, así que responderé en términos de analizar matemáticamente el problema.

Primero, dibujemos el circuito para asegurarnos de que estamos hablando de lo mismo:

Designéunodelosnodosdelcircuitocomotierra,ydesignélosotrosdoscomo"1" y "2", por lo que podemos hablar, por ejemplo, U 1 y U 2 y saber de qué estamos hablando. Definiré la corriente a través del circuito del circuito como positiva cuando fluya en sentido horario, fuera del condensador y a través del diodo desde el ánodo al cátodo.

Ahora puede configurar ecuaciones como sugirió:

Primero, como sugeriste,

(a) \ $ \ dfrac {dU_1 (t)} {dt} = -I (t) / C \ $

Luego, para la resistencia,

(b) \ $ I (t) = \ dfrac {1} {R} (U_1 (t) - U_2 (t)) \ $,

Finalmente, para el diodo, usando la ecuación del diodo de Shockley,

(c) \ $ I (t) = I_s (\ exp (\ dfrac {U_2 (t)} {nV_T}) - 1) \ $.

Aquí, Is y n son parámetros del diodo en sí.

Como descubrió, no hay ninguna solución de forma cerrada para estas ecuaciones. Las ecuaciones como estas se suelen resolver mediante la integración numérica. El método más conocido para resolver este tipo de ecuación se conoce como " integración Runge-Kutta de cuarto orden ".

Por supuesto, no tiene que escribir su propio solucionador Runge-Kutta para resolver este problema, simplemente puede configurar el circuito en un programa de análisis como LTSpice, que ya incluye solo este tipo de solucionador.

    
respondido por el The Photon

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