Locus raíz del sistema de tiempo discreto

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Tengo una pregunta sobre una tarea que probablemente sea fácil, pero no puedo encontrar la K. correcta

Tengo el bucle con un elemento de ganancia ajustable dado:

$$ Q (z) = \ frac {H (z)} {1+ K \ cdot G (z) H (z)} $$

He dado:

$$ H (z) = \ frac {z} {z + 0.5} $$ y $$ G (z) = \ frac {1} {z (z-0.5)} $$

$$ H (z) \ cdot G (z) = \ frac {1} {(z + 0.5) (z-0.5)} $$ que da los polos 0.5 y -0.5.

No estoy seguro de cómo ir desde aquí. ¿Tengo que contar los ceros en +/- infinito y cómo puedo obtener el argumento?

La solución es que el sistema es estable para -0.75 < K < 1.25.

    
pregunta JavaForStarters

2 respuestas

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El gráfico de locus de la raíz para K positivo es

Puedesverquelasinterseccionesdelcírculounitarioenz=±1j.Elpolodelazocerradoes$$\frac{-1}{G(z)H(z)}=-(z+0.5)(z-0.5)$$Paraz=±1jtenemos\$K=-(j+0.5)(j-0.5)=-(-1-.25)=1.25\$

ParaKnegativo,ellugardelaraízes Esto intersecta el círculo unitario en z = ± 1. Para eso, tenemos \ $ K = - (1 + 0.5) (1-0.5) = -0.75 \ $

Por lo tanto, su región de convergencia es de \ $ - 0.75 < K < 1.25 \ $

    
respondido por el cimarron
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El gráfico del lugar de las raíces:

Los límites de estabilidad son donde cruza el círculo unitario. Estos son los puntos \ $ \ pm i \ $, \ $ \ pm1 \ $.

El valor de K en estos puntos se puede calcular utilizando lo siguiente:

$$ K = \ frac {-1} {G (z) H (z)} = - (z-0.5) (z + 0.5) $$

Cuando \ $ z = \ pm i \ $, \ $ K = 1.25 \ $ y cuando \ $ z = \ pm 1 \ $, \ $ K = -0.75 \ $.

Entre estos dos valores, los loci están dentro del círculo unitario y el sistema es estable.

    
respondido por el Suba Thomas

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