No conecte la batería directamente si desea que este ESP8266 dure. 3.7 V es el voltaje nominal, pero puede ser un poco más alto cuando se cargan. Puede colocar un ld1117 pero, a pesar de que están marcados como LDO (regulador de baja caída), tienen un abandono significativo, más de 1V. Y dado que las baterías de iones de litio tienen una curva de voltaje (sus caídas de voltaje cuando se descargan), terminará con un voltaje cercano al mínimo para el ESP8266.
No recomendaría usar un estándar ld1117. Encuentre otro regulador con una caída mucho menor, pero asegúrese de que pueda manejar 300 mA ya que el ESP8266 tiene picos de 300 mA (he medido) cuando se transmite a plena potencia.
O mejor aún, use un regulador de conmutación (reducción), son baratos y muy fáciles de usar. Puede buscar en mouser.com, hay muchos reguladores fáciles de usar, incluso puede usar el MC34063A clásico.
O otra cosa que puedes hacer, lo que he hecho algunas veces, es colocar un diodo schottky en serie con la batería, el diodo caerá alrededor de 0.4 V, por lo que terminarás con 3.3-3.4 cuando la batería esté cargada. , y desplácese hasta 2.8 cuando esté casi vacío.
En su última pregunta, la mayoría de las baterías de ión de litio vienen con una protección incorporada que evita daños por descarga y daños por cortocircuito. Solo asegúrate de que tu batería tenga esa pequeña PCB (la mayoría la tiene). Por lo tanto, no tiene que hacer nada especial, cuando la batería está muy baja, este circuito de protección lo desconectará de su circuito para evitar daños.