¿Por qué se representa la impedancia como un número complejo?

Ciertamente espero haber logrado descifrar lo que se solicita aquí. Si no es así, aclarar para que pueda proporcionar una respuesta más relevante.

Comencemos con la definición de los modelos con y sin pérdida:

¡En el modelo con pérdidas, la resistencia de la línea en sí importa para el cálculo! Básicamente, estamos ejecutando un voltaje de este tipo a través de la línea que incluso si reemplazáramos la señal con un voltaje de CC igual al voltaje RMS de nuestra señal, todavía tendríamos pérdidas.

Usando el modelo sin pérdidas, si reemplazáramos la señal con un voltaje de CC igual al voltaje RMS de la señal, no tendríamos pérdidas considerables. En este caso, solo importan los componentes reactivos y la resistencia de la línea en sí no es importante.

Esto nos lleva a la ecuación básica para la línea de transmisión impedancia característica :

\ $ Z_0 = \ sqrt {\ frac {R + j \ omega L} {G + j \ omega C}} \ $

Tenga en cuenta que G es conductancia en paralelo con la capacitancia, y que R es resistencia en serie con la inductancia. En el modelo sin pérdidas, no tenemos a los dos, por lo que sus valores se toman como cero. Entonces podemos reescribir la ecuación como

\ $ Z_0 = \ sqrt {\ frac {0 + j \ omega L} {0 + j \ omega C}} \ $

que es equivalente a

\ $ Z_0 = \ sqrt {\ frac {j \ omega L} {j \ omega C}} \ $

que podemos reescribir como \ $ Z_0 = \ sqrt {\ frac {j \ omega} {j \ omega} \ frac {L} {C}} \ $

Las partes \ $ j \ omega \ $ producen una y nos encontramos al final solo

\ $ Z_0 = \ sqrt {\ frac {L} {C}} \ $

Por lo tanto, el modelo sin pérdidas no tiene la parte imaginaria porque las unidades imaginarias se cancelaron automáticamente.

La impedancia se representa como un número complejo, independientemente de si está considerando la pérdida o no, por lo que debe comprender esto antes de comenzar a pensar en las líneas de transmisión sin pérdida / con pérdida.

En términos generales, la impedancia es la relación V / I (voltaje sobre la corriente). V y I no son necesariamente constantes en el tiempo, por lo que están representados por sus componentes de frecuencia. Entonces, la impedancia ahora se piensa como la relación de dos ondas sinusoidales de una cierta amplitud y fase en una frecuencia particular. Dicha relación será otra onda de cierta amplitud y fase.

Para que veas, en su forma básica, necesitas dos números para representar la proporción de dos ondas sinusoidales: amplitud y fase. Un número complejo es una conveniencia matemática para trasladar esos dos valores, aunque no directamente la amplitud y la fase como tales, sino las componentes x-y del fasor o vector relacionado. Con frecuencia verá Z expresado como una función de f o w, que es frecuencia, y esta es solo una expresión que generaliza la relación V / I para cualquier frecuencia f (simplemente reemplácela con la frecuencia deseada y obtendrá la real y partes imaginarias, que luego se pueden traducir a amplitud y fase de dicha relación).

Es interesante pensar en el significado del hecho, en lugar de las matemáticas involucradas. Por supuesto, las matemáticas son una herramienta necesaria, pero una herramienta para comprender y expresar un significado. Cuando tanto E como H mantienen una diferencia de fase de 90 ° (donde fase se refiere a una relación de tiempo), o en términos de circuito, V e I son normales entre sí (en tiempo), la potencia entregada a la línea a una carga dada es máximo. Se puede ver en P = ExH o P = 1 / 2Re (VI *). Si E y H viajan perpendiculares a la dirección de propagación, y además tienen una diferencia de fase de 90 ° HORA, tenemos el mejor caso. Potencia máxima entregada. En este caso, la impedancia característica es real.