Transformada de Laplace inversa del circuito RLC

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El voltaje a través de la fuente de energía es igual al voltaje sumado a través de la resistencia, el capacitor y el inductor en cualquier momento (t). Esto se muestra en la siguiente ecuación:

$$ Ri (t) + \ frac {1} {C} \ int_0 ^ ti (t) + L \ frac {d \: i (t)} {d \: t} = v_s (t) $ $

para este ejemplo, deje: $$ v_s (t) = 6 $$

La transformación de laplace de esto es:

$$ RI (s) + \ frac {1} {Cs} I (s) + LsI (s) = \ frac {6} {s} $$

Reorganízalo para que yo (s) sea el sujeto:

$$ I (s) = \ frac {(\ frac {6} {s})} {R + \ frac {1} {Cs} + Ls} $$

Haga un poco de álgebra para ponerlo en una forma que sea fácil de hacer una transformada inversa laplace (es decir, una forma que represente un ejemplo en un tabla de transformación de lugar )

$$ I (s) = \ frac {6} {Ls ^ 2 + Rs + \ frac {1} {C}} $$

Pero me quedo atascado en esta parte. ¿Cómo haría la transformación álgebra e inversa de laplace para poder encontrar lo que i (t) es igual?

Espero que la respuesta tenga la exponencia e ^ -at en ella, ya que la corriente decaerá debido a la energía disipada en la resistencia. También espero que tenga un pecado, cos, ambos, o un número imaginario, ya que la corriente oscilará. Según wolfram alpha, la respuesta es esto . De esto se puede ver que si 4L > CR ^ 2 entonces el discriminante (la raíz cuadrada en el numerador del exponente) será un número imaginario. Luego podrías usar la fórmula de Eulers para obtener una ecuación con pecado y cos en ella.

simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

    
pregunta Blue7

3 respuestas

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Elaborando la respuesta de Andy aka ...

Necesitas el par de transformación

$$ \ frac {\ omega_0} {(s + \ alpha) ^ 2 + \ omega_0 ^ 2} \ Longleftrightarrow e ^ {- \ alpha t} \ sin (\ omega_0t) u (t) $$

con

$$ \ omega_0 ^ 2 = \ frac {1} {LC} - \ frac {R ^ 2} {4L ^ 2} $$

y

$$ \ alpha = \ frac {R} {2L} $$

Por supuesto, también obtendrás una constante multiplicativa, pero eso es sencillo.

    
respondido por el Matt L.
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Supongo que necesita el comportamiento de TIEMPO del circuito después de que el circuito se excita con un voltaje de entrada Vo en t = 0, ¿correcto?

Paso 1: Comience con la ecuación como se indica en su publicación. Esta ecuación está en el dominio del tiempo y no es necesario ingresar al dominio de la frecuencia.

Paso 2: Multiplica la ecuación completa por C y diferencia la ecuación con respecto al tiempo. Como resultado, tienes una ecuación diferencial homogénea de segundo orden (el lado derecho de la ecuación es cero).

Paso 3: Este dif. La ecuación se puede resolver configurando (usando el "Ansatz")

i (t) = I * exp (st)

Paso 4: Introducción de esta expresión en el diff. la ecuación lleva a

I * exp (st) * (1 + sRC + s ^ 2 * LC) = 0

y para t > 0 tenemos

(1 + sRC + s ^ 2 * LC) = 0

Paso 5: Esta ecuación cuadrática se puede resolver fácilmente conduciendo a

s1 = sigma + jwo y s2 = sigma-jwo

con sgma = R / 2L y wo = SQRT (1 / LC- sigma ^ 2)

Paso 6: Introduciendo y agregando ambas soluciones en la ecuación en el paso 3 y utilizando la ecuación de EULER para expresiones sinusoidales, llegamos a

i (t) = Io * exp (sigma * t) * sin (wo * t) con Io = Vo / wo * L

    
respondido por el LvW
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No soy un experto en esto, pero diría que necesitas trabajar más en el denominador para que se ajuste a una transformación estándar. Quizás: -

\ $ I (s) = \ dfrac {6} {Ls ^ 2 + Rs + \ dfrac {1} {C}} \ $ se convierte en ...

\ $ I (s) = \ dfrac {\ dfrac {6} {L}} {s ^ 2 + \ dfrac {R} {L} s + \ dfrac {1} {LC}} \ $

Luego convierta el denominador a \ $ (s + \ dfrac {R} {2L}) ^ 2 + (\ dfrac {1} {LC} - \ dfrac {R ^ 2} {4L ^ 2}) \ $

No voy a ir más lejos porque no estoy seguro, no he hecho esto en mucho tiempo

EDIT

Dibujo adjunto para ayudar a entender las relaciones entre \ $ \ omega_N \ $ y \ $ \ omega_0 \ $: -

    
respondido por el Andy aka

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