Derivando la fórmula de la frecuencia de oscilación para el Oscilador de Cambio de Fase

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Mi objetivo es encontrar la frecuencia de oscilación de un oscilador de cambio de fase .

Empiezo encontrando la función de transferencia de la red RC en cascada.

$$ V_o (s) = \ dfrac {\ dfrac {1} {C_3s}} {R_3 + \ dfrac {1} {C_3s}} V_2 (s) = \ dfrac {1} {1 + R_3C_3s} V_2 (s). $$

Del mismo modo,

$$ V_2 (s) = \ dfrac {1} {1 + R_2C_2s} V_1 (s) \ quad \ text {y} \ quad V_1 (s) = \ dfrac {1} {1 + R_1C_1s} V_i (s). $$

Entonces la función de transferencia es:

$$ \ begin {array} {lcl} H (s) = \ dfrac {V_o (s)} {V_i (s)} & = & \ dfrac {1} {(1 + R_1C_1s) (1 + R_2C_2s) (1 + R_3C_3s)} \\ & = & \ dfrac {1} {R_1R_2R_3C_1C_2C_3s ^ 3 + \ dots} \ cdots \\ & & \ dfrac {} {(R_1R_2C_1C_2 + R_2R_3C_2C_3 + R_1R_3C_1C_3) s ^ 2 + \ dots} \ cdots \\ & & \ dfrac {} {(R_1C_1 + R_2C_2 + R_3C_3) s + 1} \ end {array} $$

Entonces la respuesta de frecuencia es:

$$ \ begin {array} {lcl} H (j \ omega) & = & \ dfrac {1} {j \ omega \ left [(R_1C_1 + R_2C_2 + R_3C_3) - R_1R_2R_3C_1C_2C_3 \ omega ^ 2 \ right] + \ dots} \ cdots \\ & & \ dfrac {} {\ left [1 - (R_1R_2C_1C_2 + R_2R_3C_2C_3 + R_1R_3C_1C_3) \ omega ^ 2 \ right]} \ end {array} $$

Ahora, estamos buscando un \ $ \ omega \ $ valor especial, \ $ \ omega_0 \ $, para el cual el argumento de \ $ H (wj) \ $ será \ $ \ pm180 ^ o \ $. Claramente, sucede cuando

$$ R_1C_1 + R_2C_2 + R_3C_3 = R_1R_2R_3C_1C_2C_3 \ omega ^ 2 \ Big | _ {\ omega = \ omega_0}. $$

Por lo tanto, encontramos la frecuencia de oscilación como

$$ \ begin {array} {rcl} \ omega_0 & = & \ sqrt {\ dfrac {R_1C_1 + R_2C_2 + R_3C_3} {R_1R_2R_3C_1C_2C_3}} \\ \ text {f} _0 & = & \ dfrac {1} {2 \ pi} \ sqrt {\ dfrac {R_1C_1 + R_2C_2 + R_3C_3} {R_1R_2R_3C_1C_2C_3}} \ end {array}. $$

Cuando \ $ \ quad R_1 = R_2 = R_3 = R \ quad \ $ y \ $ \ quad C_1 = C_2 = C_3 = C \ quad \ $:

$$ \ text {f} _0 = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2 \ pi RC} $$

Sin embargo, de acuerdo con todos los artículos en línea que incluyen Wikipedia, la fórmula para la frecuencia de oscilación es

$$ \ text {f} _0 = \ dfrac {1} {2 \ pi RC \ sqrt {6}}. $$

Hice un experimento con el circuito exacto que conecté anteriormente con \ $ R = 1k \ Omega \ $, \ $ C = 100nF \ $, \ $ R_i = 1k \ Omega \ $ y \ $ R_f = 33k \ Omega \ $ usando el opamp TL084. Observé el período de oscilación como 7.4ms.

De acuerdo con la fórmula que he derivado anteriormente, debería haber sido

$$ \ tau_0 = 2 \ pi (1k \ Omega) (100nF) / \ sqrt {3} = 362.76 \ text {ns}. $$

Y de acuerdo con la fórmula del otro, debería haber sido

$$ \ tau_0 = 2 \ pi (1k \ Omega) (100nF) \ sqrt {6} = 1.539 \ text {ms}. $$

Finalmente, mis preguntas son:

  1. ¿Por qué la fórmula que encontré arriba es diferente a la fórmula del otro? ¿Dónde cometí el error? ¿El uso de un opamp extra para el búfer lo afectó?
  2. ¿Por qué el período de mi oscilador difiere tanto de lo que dicen ambas fórmulas?
pregunta hkBattousai

4 respuestas

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Sus ecuaciones segunda y tercera son incorrectas.

La primera ecuación es correcta, pero la segunda debe ser

$$ V_2 = V_1 \ frac {\ frac {1} {sC_2} || (R_3 + \ frac {1} {sC_3})} {R_2 + \ frac {1} {sC_2} || (R_3 + \ frac {1} {sC_3})} $$

En otras palabras, no tuvo en cuenta la carga de las etapas siguientes.

De acuerdo con mi ejercicio de álgebra matutino, para valores de resistencia uniforme \ $ R \ $ y valores de condensador \ $ C \ $,

$$ \ frac {V _ +} {V_i} = \ frac {1} {1 + 6sRC + 5 (sRC) ^ 2 + (sRC) ^ 3} = \ frac {1} {[1 - 5 ( \ omega RC) ^ 2] + j [6 \ omega RC - (\ omega RC) ^ 3]} $$

El cambio de fase es \ $ 180 ^ {\ circ} \ $ cuando la parte imaginaria del denominador se desvanece así,

$$ 6 \ omega_0 RC = (\ omega_0 RC) ^ 3 \ rightarrow \ omega_0 = \ frac {\ sqrt {6}} {RC} $$

Para los valores de resistencia y capacitor elegidos, la frecuencia es

$$ f_0 = \ frac {\ sqrt {6}} {2 \ pi \ cdot 1k \ Omega \ cdot 100nF} = 3.898kHz $$

Para verificar este cálculo, simulé la red de cambio de fase y dibujé la función de transferencia:

    
respondido por el Alfred Centauri
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Su función de transferencia no es correcta. Calculó la función de transferencia como si las tres redes RC fueran completamente independientes, es decir, como si hubiera búferes con una impedancia de entrada infinitamente alta entre ellas. Creo que si calcula la función de transferencia correctamente, debería poder llegar a la fórmula correcta.

    
respondido por el Matt L.
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Al utilizar las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACT, es posible determinar la función de transferencia del circuito anterior simplemente calculando las constantes de tiempo del circuito \ $ \ tau \ $ en diversas condiciones. Primero, establezca \ $ s = 0 \ $ y observe el circuito pasivo (consideramos que \ $ R \ $ es igual a todos \ $ C \ $) y determine la ganancia en dc (todos los límites están abiertos). Encuentra \ $ H_0 = 1 \ $. Luego, reduzca la excitación a 0 V (el terminal izquierdo corto \ $ R_1 \ $ a GND en el circuito original) y "mire" las resistencias ofrecidas por todas las tapas cuando se las retira temporalmente del circuito. Luego, colocando todas las mayúsculas en su estado de alta frecuencia (reemplace la tapa por un cortocircuito), determine las constantes de tiempo de segundo y tercer orden como se muestra en el esquema a continuación:

Unavezquetengatodasestasconstantesdetiempo(¡tengaencuentaquelasobtienealinspeccionarelcircuito,noálgebra!),lascombinadelasiguientemanera:

\$H(s)=H_0\frac{1}{1+s(\tau_1+\tau_2+\tau_3)+s^2(\tau_1\tau_{12}+\tau_1\tau_{13}+\tau_2\tau_{23})+s^3\tau_1\tau_{12}\tau_{123}}\$

combinandotodosestosresultados,obtenemos

\$H(s)=\frac{1}{1+6RCs+5(RC)^2s^2+(RC)^3s^3}\$

Estaesunaexpresiónpolinomialdetercerordenquepodemostenerencuentaenlasiguienteformaconsiderandounpolodebajafrecuenciadominanteydospoloscoincidentes(comparandolasdistintasconstantesdetiempo):

\$H(s)=\frac{1}{(1+\frac{1}{\omega_p})(1+\frac{s}{\omega_0Q}+(\frac{s}{\omega_0})^2)}\$enelque

\$\omega_p=\frac{1}{6RC}\$\$Q=6\frac{\sqrt{6}}{29}\$\$\omega_0=\frac{\sqrt{6}}{RC}\$

EstasexpresionesserecopilanysepruebanenlassiguienteshojasdeMathcad:

dandolassiguientesrespuestasdefrecuencia

SiahoraconsideralaexpresióndemagnitudmuybienderivadadeAlfredCentaury,entonceslaatenuaciónenlafrecuenciaresonante\$\omega_0\$esexactamente29.248dBpara\$0.1\;\muF\$y\$1\;k\Omega\$.Considerandoun100-\$k\Omega\$para\$R_i\$luego\$R_f=2.9M\Omega\$,elsiguientecircuitopuedesimularsemostrandooscilacionesbiensostenidas:

Tengaencuentaladeclaración.ICparaactivarelcircuitoalcomienzodelanálisisdetransitorios.

Unacosaquepodríaserengañosaesquelafrecuenciadependedeladisposicióndeloselementospasivos.ParalosintegradoresRCencascadaquetenemosaquí,lafrecuenciaderesonanciaes\$f_0=\frac{\sqrt{6}}{2\piRC}\$.Sinembargo,sioptaporlaconfiguracióndediferenciadordeCRmásclásicacomoen enlace , la frecuencia es \ $ f_0 = \ frac {1} {2 \ pi RC \ sqrt {6}} \ $. Ahora, si inserta buffers entre las etapas CR (sin cargar las celdas individuales), la frecuencia de oscilación se convierte en \ $ f_0 = \ frac {1} {2 \ pi RC \ sqrt {3}} \ $ como ya se indicó.

Usted ha visto cómo los HECHOS podrían llevarlo al resultado con solo inspeccionar la red pasiva. Si la forma polinomial final se aparta de la función de transferencia sin formato (\ $ H_ {ref} \ $ en la hoja de Mathcad), es fácil volver a los pequeños bocetos y corregir el culpable. Esta es la estrategia de "divide y vencerás" promovida por el Dr. Middlebrook cuando formalizó los FACT y su teorema de elementos adicionales o EET ( enlace ). Si le interesa la técnica, eche un vistazo a este tutorial ( enlace ) y ejercítese resolviendo problemas documentados en enlace . Adquirir la habilidad de FACTs ciertamente requiere un poco de tiempo y esfuerzo, pero una vez que entiendas su poder, ¡no volverás al enfoque clásico!

    
respondido por el Verbal Kint
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Posiblemente el error que has cometido es no usar el mismo circuito que el artículo de Wikipedia. Al ignorar el amplificador operacional adicional que insertó (lo cual es trivial), la red de cambio de fase en el artículo wiki es capacitancia en serie y resistencia en paralelo: ha usado resistencia en serie y capacitancia en paralelo.

Dado que cada etapa RC representa aproximadamente un cambio de fase de 60 grados, revertir el R y el C naturalmente solo produciría un cambio de fase de 30 grados.

¿Eso no hace una diferencia o estoy siendo estúpido?

Por cierto, hice una simulación y descubrí que estaba a medio camino entre los dos valores teóricos usando sqrt (6) y tu sqrt (3) !!!

    
respondido por el Andy aka

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