Tengo que derivar la transformada de Fourier de un medio triángulo que se muestra aquí:
Hasta ahora tengo la ecuación de la línea como 1-t / T, y ahora creo que debo sustituir la definición de la transformada de Fourier con los límites establecidos como 0 a T, pero no estoy del todo seguro. ..
(Lo siento si publiqué en el stackexchange incorrecto, esta pregunta es de mi curso de electrónica y pensé que aquí sería lo más apropiado)
Tienes toda la razón. Como su función tiene un valor de cero en todas partes, excepto en el intervalo [0, T [ no es necesario establecer límites más amplios. Esos intervalos "externos" no agregarán nada al resultado. La integral a continuación te dará la respuesta.
$$ X_3 (j \ omega) = \ int_0 ^ Tx_3 (t) \ cdot e ^ {- j \ omega t} dt = \ int_0 ^ T (1 - {{t} \ sobre {T}}) \ cdot e ^ {- j \ omega t} dt $$
Aplicar la definición de transformada de Fourier siempre funciona, pero no siempre es la mejor idea. Hay algunas funciones que ya se han transformado y se enumeran en tablas.
A veces es mejor pensar: ¿cómo puedo escribir mi función como una suma de estas funciones conocidas, para que luego usando la linealidad pueda obtener la respuesta fácilmente? Desafortunadamente, en su caso no hay una suma inteligente, pero puede escribir su función como el producto de un triángulo de centro 0, altura 1 y ancho 2T, y un rectángulo que comienza en 0, ancho T y altura 1.
Como se conocen las transformadas F tanto del triángulo como del rectángulo, puede obtener su resultado calculando la convolución de las dos funciones, que puede ser más fácil que resolver directamente la integral según la definición de la transformada F.
Lo que dice es correcto, lo que significa que si usa la definición de que su intervalo es [0, T], de hecho su función no es \ $ x_3 (t) = 1- \ frac {t} {T} \ $, sino más bien \ $ x_3 (t) = (1- \ frac {t} {T}) \ cdot rect (\ frac {t- \ frac {T} {2}} {T}) \ $. El efecto de ese rect está limitando exactamente el intervalo de integración:
$$ X_3 (j \ omega) = \ mathcal {F} [x_3 (t)] = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x_3 (t) \ cdot e ^ {- j \ omega t} dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ bigg (1- \ frac {t} {T} \ bigg) \ cdot rect \ bigg (\ frac {t- \ frac {T} {2}} { T} \ bigg) \ cdot e ^ {- j \ omega t} dt = \\ = \ int_0 ^ T \ bigg (1- \ frac {t} {T} \ bigg) \ cdot e ^ {- j \ omega t} dt = \\ = \ int_0 ^ Te ^ {- j \ omega t} dt- \ frac {1} {T} \ int_0 ^ T te ^ {- j \ omega t} dt = \ Bigg [\ frac {e ^ {- j \ omega t}} {- j \ omega} \ Bigg] _0 ^ T- \ frac {1} {T} \ cdot \ Bigg [\ frac {e ^ {- j \ omega t} (- j \ omega t-1) } {(j \ omega) ^ 2} \ Bigg] _0 ^ T = \\ = \ frac {e ^ {- j \ omega T} -1} {- j \ omega} + \ frac {1} {T \ omega ^ 2} \ cdot \ bigg [e ^ {- j \ omega T} (- j \ omega T-1) -1 \ bigg] = \ dots = \\ = - \ frac {j \ omega T + e ^ {- j \ omega T} -1} {T \ omega ^ 2} $$
Convoluciona dos funciones Rect () para obtener una función de triángulo. Consulte esta respuesta para obtener la derivación.
Ahora multiplica la función de rampa de dos lados con una función rect que se extiende desde 0 a una dirección positiva.
Una multiplicación en el dominio del tiempo es una convolución en el dominio de la frecuencia.
Y finalmente, dado que el rectángulo rojo se desplaza en el tiempo, debe invocar el teorema de cambio de tiempo: \ $ F_t [f (t-a)] = F (t) e ^ {- j2 \ pi fa} \ $
\ $ F_t \ $ significa la transformada de Fourier.
Convolverás un \ $ sinc * e ^ {- j2 \ pi fa} \ $ con un \ $ sinc ^ 2 \ $ en el dominio de frecuencia.