Función de transferencia para este amplificador operacional de transconductancia

El libro de texto es correcto.

Deje que \ $ R_ {1 \ text {L}} \ $ y \ $ R_ {2 \ text {L}} \ $ se refieran a la parte más a la izquierda de \ $ R_1 \ $ y \ $ R_2 \ $, respectivamente, y \ $ R_ {1 \ text {R}} \ $ y \ $ R_ {2 \ text {R}} \ $ se refieren a la derecha \ $ R_1 \ $ y \ $ R_2 \ $, respectivamente.

El voltaje en la entrada inversora del amplificador operacional es \ $ V_- = V _ {\ text {in}} \ $, por lo que la corriente a través de \ $ R_ {1 \ text {L}} \ $ es \ $ V _ {\ text {in}} / R_ {1 \ text {L}} \ $. Como idealmente no hay corriente en la entrada del amplificador operacional, la corriente a través de \ $ R_ {2 \ text {L}} \ $ también es \ $ V _ {\ text {in}} / R_ {1 \ text {L}} \ $.

El voltaje en \ $ R_ {2 \ text {L}} \ $ es

$$ \ frac {V _ {\ text {in}}} {R_ {1 \ text {L}}} R_ {2 \ text {L}} $$

por la Ley de Ohm.

El voltaje \ $ V_M \ $ en el nodo medio (en la intersección T de las resistencias) es, por lo tanto,

$$ V_M = V _ {\ text {in}} + \ frac {V _ {\ text {in}}} {R_ {1 \ text {L}}} R_ {2 \ text {L}} \ tag1 $$

La corriente a través de \ $ R_ {1 \ text {R}} \ $ es \ $ V_ {M} / R_ {1 \ text {R}} \ $. La corriente a través de \ $ R_ {2 \ text {R}} \ $ es esta corriente más la corriente a través de \ $ R_ {2 \ text {L}} \ $:

$$ \ frac {V_ {M}} {R_ {1 \ text {R}}} + \ frac {V _ {\ text {in}}} {R_ {1 \ text {L}}} $$

por lo que el voltaje a través de él es

$$ \ left (\ frac {V_ {M}} {R_ {1 \ text {R}}} + \ frac {V _ {\ text {in}}} {R_ {1 \ text {L}} } \ right) R_ {2 \ text {R}} $$

Este voltaje más \ $ V_M \ $ es \ $ V _ {\ text {out}} \ $:

$$ V _ {\ text {out}} = V_M + \ left (\ frac {V_ {M}} {R_ {1 \ text {R}}} + \ frac {V _ {\ text {in}} } {R_ {1 \ text {L}}} \ derecha) R_ {2 \ text {R}} \ tag2 $$

Sustituyendo \ $ (1) \ $ en \ $ (2) \ $ y eliminando L y R de los subíndices:

$$ \ begin {split} V _ {\ text {out}} & = V _ {\ text {in}} + \ frac {V _ {\ text {in}}} {R_ {1}} R_ { 2} + \ left (\ frac {V _ {\ text {in}} + \ frac {V _ {\ text {in}}} {R_ {1}} R_ {2}} {R_ {1}} + \ frac {V _ {\ text {in}}} {R_ {1}} \ right) R_ {2} \\ & = V _ {\ text {in}} \ left (1 + \ frac {R_ {2}} { R_ {1}} + \ frac {R_ {2}} {R_ {1}} + \ frac {R_ {2} ^ 2} {R_ {1} ^ 2} + \ frac {R_ {2}} {R_ {1}} \ derecha) \\ & = V _ {\ text {in}} \ left (1 + 3 \ frac {R_ {2}} {R_ {1}} + \ frac {R_ {2} ^ 2 } {R_ {1} ^ 2} \ right) \ end {split} $$

$$ \ en caja {\ frac {V _ {\ text {out}}} {V _ {\ text {in}}} = 1 + 3 \ frac {R_ {2}} {R_ {1}} + \ frac {R_ {2} ^ 2} {R_ {1} ^ 2}} $$

¡No se muestran todos los pasos, pero esperamos que sea suficiente para guiar uno a través de este interesante circuito!

Suposiciones:

1. No fluye corriente hacia el terminal de entrada negativa opamp.

2. La diferencia de voltaje entre los terminales de entrada opamp negativo y positivo es cero, por lo tanto, el voltaje en el pin opamp opamp de entrada negativa es \ $ V_ {in} \ $.

La "I" actual puede calcularse como:

\ $ I = \ frac {V_ {out}} {R_2 + R_1 || (R_1 + R_2)} \ $

La corriente a través del resistor izquierdo \ $ R_1 \ $ es:

\ $ I_a = I \ frac {R_1} {2R_1 + R_2} \ $

La caída de voltaje en \ $ V_ {en} \ $ debido a \ $ I_a \ $ es:

\ $ V_ {in} = I_a R_1 = I \ frac {R_1 ^ 2} {2R_1 + R_2} \ $

Por lo tanto:

\ $ \ frac {V_ {out}} {V_ {in}} = \ frac {(2R_1 + R_2) (R_2 + R_1 || (R_1 + R_2))} {R_1 ^ 2} \ $

\ $ \ frac {V_ {out}} {V_ {in}} = \ frac {2R_1R_2 + R_2 ^ 2 + R_1 ^ 2 + R_1R_2} {R_1 ^ 2} \ $

\ $ \ frac {V_ {out}} {V_ {in}} = 1 + 3 \ frac {R_2} {R_1} + (\ frac {R_2} {R_1}) ^ 2 \ $