Dos condensadores están conectados en paralelo con un interruptor abierto. Ambos tienen una capacidad diferente en la que: $$ c_1 > c_2 $$ y ambos cargados con una tensión diferente. $$ v_1 \ neq v_2 $$ y ahora cerramos el interruptor.
¿Cuál será el voltaje en los capacitores y se mantendrá Teorema de Tellegen ?
Creo que no, pero no pude escribir una prueba adecuada ni encontrar el voltaje común.
Considera este circuito:
Sé que no especificaste una resistencia en el circuito. Su propósito se aclarará más adelante.
Digamos que inicialmente \ $ V_ {C1} = 1V \ $ y \ $ V_ {C2} = 0V \ $. El cargo en C1 es:
$$ Q_ {C1} = CV = 1F \ cdot 1V = 1C $$
La energía total en el circuito es la misma que la energía en C1, porque no hay otra energía almacenada en ninguna otra parte del circuito:
$$ E_ {C1} = \ frac {Q ^ 2} {2C} = \ frac {(1C) ^ 2} {2F} = 0.5J $$
Cuando el interruptor está cerrado, fluye algo de corriente. La carga total en el circuito debe permanecer igual, y podemos ver que el voltaje a través de los condensadores debe ser igual una vez que el circuito alcanza el equilibrio.
$$ Q_ {C1} = Q_ {C2} = 0.5C $$
$$ V_ {C1} = V_ {C2} = \ frac {Q} {C} = \ frac {0.5C} {1F} = 0.5V $$
La energía en los condensadores es:
$$ E_ {C1} = E_ {C2} = \ frac {(0.5C) ^ 2} {2F} = 0.125J $$
Tenemos dos de estos capacitores, por lo que la energía total es el doble de eso, 0.25J. Inicialmente teníamos 0.5J. ¿Dónde perdimos la mitad de la energía?
Tenga en cuenta que en el instante en que se cerró el interruptor, hay 1V en R. La corriente es, por lo tanto, 1V / R. El poder es así:
$$ P = EI = 1V \ cdot \ frac {1V} {R} = \ frac {(1V) ^ 2} {R} $$
A medida que disminuyes R, la potencia aumenta, acercándose al infinito:
$$ \ lim_ {R \ searrow 0} \ frac {(1V) ^ 2} {R} = \ infty $$
Por lo tanto, la energía perdida se perdió como calor en R. La energía perdida es la misma para cualquier valor de R. R no puede ser igual a 0Ω sin que se obtenga un poder infinito, lo cual es imposible.
Por cierto, esta es la razón por la que las bombas de carga no pueden ser 100% eficientes .
El problema aquí es que la conexión de dos condensadores con diferentes cargas resultará en una cantidad infinita de corriente y este es el problema básico en el análisis del circuito. Si introdujo una resistencia pequeña (llamémosla resistencia de contacto del interruptor), puede derivar una fórmula que predice el voltaje final a través de los condensadores.
Pero la energía se perderá en la resistencia, por lo que, utilizando la fórmula, se puede asumir que R se hace cada vez más pequeña y que, por cada reducción de R, encontrará que la corriente inicial se hace cada vez más grande y debería poder notar que la pérdida \ $ i ^ 2 \ $ Rt en realidad no se hace más pequeña; se aproxima a un valor constante y la R más pequeña obtiene que la pérdida de energía sigue siendo la misma. Esto indica la pérdida de energía final.
Tenga en cuenta que no puede hacer un cortocircuito entre los dos condensadores y esperar obtener resultados razonables suponiendo que las energías individuales iniciales almacenadas en cada condensador igualarán la energía final una vez que estén en paralelo. Esto no sucede en el mundo real y tampoco ocurrirá en el mundo teórico.
Lo que se ha olvidado es que a medida que la resistencia R disminuye el efecto de la inductancia L del circuito se vuelve más importante: tiene un bucle de cable.
Así que, de hecho, tiene un circuito LCR en serie con la condición de amortiguación crítica
$$ R ^ 2 = \ dfrac {4L} {C} $$
Cuando realiza su análisis de un circuito de CR, en realidad está analizando un circuito LCR, pero suponiendo que la resistencia del circuito es mucho mayor que la de una amortiguación crítica, por lo que el circuito está sobrecargado y se ve bien. Curvas exponenciales.
Si la resistencia es muy baja, entonces el circuito está sub-amortiguado y las cargas / corrientes / voltajes sufren un movimiento armónico simple amortiguado. En tales condiciones, las cargas de aceleración porque están sin unir (electrones libres en un conductor) emiten radiación electromagnética que es la base de un transmisor de radio.
Entonces, parte de la energía disipada en el circuito termina como calor (calentamiento óhmico) y otra como radiación electromagnética y en ningún momento la potencia disipada se vuelve infinita.