Estoy calculando la función de transferencia de un sistema. Llegué a un punto muerto:
$$ L \ {f (t) \ cos (\ theta t) \} $$
Transformada de Laplace del producto de cualquier función por coseno. Durante unos días he estado buscando una manera de resolver esto, desafortunadamente sin éxito. ¿Alguien podría ayudarme?
Primero, observe que: \ $ \ small cos (\ omega t) = \ dfrac {e ^ {j \ omega t} + e ^ {- j \ omega t}} {2} \ normalsize \ $
La propiedad s-shifting de la Transformada de Laplace es: \ $ \ small \ mathscr {L} [f (t) .e ^ {at}] = F (s-a) \ normalalsize \ $
Por lo tanto:
$$ \ mathscr {L} [f (t) .cos (\ omega t)] = \ dfrac {\ mathscr {L} [f (t) .e ^ {j \ omega t}] + \ mathscr {L} [f (t) .e ^ {- j \ omega t}]} {2} = \ dfrac {F (sj \ omega) + F (s + j \ omega)} {2} $$
Ejemplo 1.
\ $ \ small f (t) = H (t) = \ $ Heaviside function = unit step function, encuentra la expresión para \ $ \ small \ mathscr {L} [H (t) .cos (\ omega t) ] \ $
Por las tablas de LT, sabemos que: \ $ \ small \ mathscr {L} cos (\ omega t) = \ dfrac {s} {(s ^ 2 + \ omega ^ 2)} \ $. Para derivar esto de la relación anterior:
\ $ \ small F (s) = H (s) = \ dfrac {1} {s} \ $
\ $ \ small \ mathscr {L} [H (t) .cos (\ omega t)] = \ dfrac {F (sj \ omega) + F (s + j \ omega)} {2} = \ dfrac {1} {2} \ big (\ dfrac {1} {sj \ omega} + \ dfrac {1} {s + j \ omega} \ big) = \ dfrac {s} {(s ^ 2 + \ omega ^ 2)} \ normalsize \ $
Ejemplo 2.
\ $ \ small f (t) = e ^ {- t} \ $, encuentra la expresión para \ $ \ small \ mathscr {L} [e ^ {- t} .cos (t)] \ $
\ $ \ small F (s) = \ dfrac {1} {s + 1} \ $
\ $ \ small \ mathscr {L} [e ^ {- t} .cos (t)] = \ dfrac {F (sj) + F (s + j)} {2} = \ dfrac {1} {2} \ big (\ dfrac {1} {s + 1-j} + \ dfrac {1} {s + 1 + j} \ big) = \ dfrac {s + 1} {s ^ 2 + 2s + 2 } \ normalsize \ $
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