Resolver un circuito transitorio con RLC en serie utilizando la transformada de Laplace

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Estoy tratando de resolver esto usando la transformada de Laplace:

(TensiónU,corrienteI).EstoyparaconseguirUc.MiintentofuecalcularIyluegoobtenerUcusandolaleydeohm,peronopudeencontrarelItodavía.

Aquíesparat<0,paraobtenerlascondicionesiniciales

Y luego trato de resolverlo para t > 0:

(I with hat está actualizado en el dominio laplace)

Allí me quedé un poco atascado, no sé cómo proceder. Además, es posible que haya cometido algún error.

¿Cómo me actualizo en el dominio del tiempo? Debería ser una especie de onda amortiguada, mirando los polos, pero no estoy seguro de cómo hacer la transformación inversa de esto.

¡Gracias por ayuda!

(pd, disculpe si utilizo una terminología incorrecta, la estoy traduciendo del checo y no estoy seguro de algunas cosas ... espero que pueda entenderlo así).

    
pregunta MightyPork

2 respuestas

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No creo que pueda darte todos los detalles, pero esto puede ayudarte a comenzar. Afortunadamente, hay mucha información en la Web para esto. Una forma típica de revertir la transformación de una expresión como la suya es buscar una tabla de transformadas de Laplace, reescribir la expresión de modo que los componentes coincidan con uno o más de los formularios de la tabla. Con su expresión, encajará en estas dos formas (copiadas de Wikipedia):

Ahora,reescribasuexpresióndemodoque\$I(s)=AP(s)+BQ(s),A,B\$seanconstantes.
Elprimerpasodelareescrituraprobablementeseríareescribireldenominador"completando el cuadrado". Y estarías eliminando las constantes durante la reescritura.
Después de obtener P (s) y Q (s) para que coincidan exactamente con los formularios de la tabla, entonces, \ $ i (t) = Ap (t) + Bq (t) \ $ usando las funciones originales dadas por la tabla .

Nueva edición: tenía curiosidad, así que terminé la transformación inversa como se muestra a continuación

$$ I = \ frac {8 \ veces 10 ^ {- 5} s + 0.4} {4 \ veces 10 ^ {- 3} s ^ 2 + 32s + 10 ^ 5} = \ frac {0.02s + 100} {s ^ 2 + 8000s + 25000000} $$ $$ = 0.02 (\ frac {s + 5000} {s ^ 2 + 8000s + 25000000}) = 0.02 (\ frac {s + 5000} {(s + 4000) ^ 2 + 3000 ^ 2}) $$ \ $ \ alpha = 4000 \ $, \ $ \ omega = 3000 \ $ Estos coinciden con las raíces que calculaste para los polos. $$ I = 0.02 (\ frac {s + 4000 - 4000 + 5000} {(s + 4000) ^ 2 + 3000 ^ 2}) = 0.02 (\ frac {s + 4000} {(s + 4000) ^ 2 + 3000 ^ 2} + \ frac {1000} {(s + 4000) ^ 2 + 3000 ^ 2}) = 0.02 (\ frac {s + 4000} {(s + 4000) ^ 2 + 3000 ^ 2} + \ frac13 \ frac {3000} {(s + 4000) ^ 2 + 3000 ^ 2}) $$ $$ i (t) = 0.02 (e ^ {- 4000t} cos (3000t) + \ frac13e ^ {- 4000t} sin (3000t)) $$

Lo que me dio curiosidad fue que intenté obtener la transformación inversa de WolframAlpha también, y obtuve una respuesta realmente complicada en forma real. Mi conjetura es que utiliza un método mecánico que produce una respuesta demasiado complicada para que se reduzca. Entonces, si solo conectas números en una computadora para obtener respuestas, a veces las relaciones más simples pueden permanecer ocultas.

    
respondido por el rioraxe
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He tabulado y graficado mi solución que se presenta a continuación en Excel (solución totalmente general / universal, es decir, en los 3 casos, vea a continuación; puedo proporcionarle a una persona interesada por correo electrónico; soy checo como investigador MightyPork muy probablemente es) y también han simulado el circuito en PSpice (recibiendo resultados idénticos con un gráfico de Excel en la parte inferior). En lugar de ' I with hat ', he usado la notación de I ( s ) durante mi derivación.

enlace

(parcela añadida 2015-02-13)

Apéndice:(agregado2015-02-11)

MightyPorkescribió:

  

...Ahímequedéunpocoatascado,nosécómoproceder.Además,esposiblequehayacometidoalgúnerror.  ¿Cómomepongoaldíaeneldominiodeltiempo?Deberíaserunaespeciedeondaamortiguada,mirandolospolos,peronoestoysegurodecómohacerlatransformacióninversadeesta...

  1. Sí,cometióunpequeñoerroralomitirunsignomenosenelexponente(enlugardeunaespeciedeerrorde"escritura":

  • Para hacer la transformación inversa de eso, entonces, si desea utilizar la "Calculadora de WolframAlpha" mencionada anteriormente (o alguna otra herramienta similar, expresiones tabuladas, etc.), debe encontrar las raíces del numerador (ceros) y el denominador (polos; ya lo has hecho) y reescribe el lado derecho de la siguiente manera:

    • Paranuestraexpresión,puedeencontrarlatransformadadeLaplaceinversacomo:

    Entonces, si estamos interesados solo en nuestro caso particular (con polos complejos), entonces podemos escribir:

    entonces,elresultadofinal(como rioraxe ya ha indicado) es:

    Buscandoelvoltaje\$u_C(t)\$,tenemosqueintegrarlacorrientecalculadadelasiguientemanera(sabemosque\$u_C(0)=0\$):

    (Heusadounavariablexenlugardetdentrodelafuncióni(t)paranoconfundirlavariableindependienteconloslímitesintegralesdefinidosquefinalmenteseconvertiránenlavariableindependienteenelresultado(despuésdelaintegraciónysusustitución)

    Si quisiéramos hacerlo manualmente, sería mejor usar la " expresión exponencial " anterior, ya que

    y la integración en sí se vuelve bastante fácil, pero hagámoslo usando WolframAlpha Calculator :

    Solicitando la integración de una expresión genérica ' e ^ ax (c sin (bx) + d cos (bx)) '

    ingresando el comando " integra e ^ ax (c sin (bx) + d cos (bx)) " en

    enlace

    recibimos:

    yparalossiguientesvaloresdados\$\>un\>=\>–4000;\>b=\>3000;\>c\>=\>\frac{1}{3};\>d\>=\>1,\>C\>=\>0,4\cdot10^{-6}\>\$:

    ... sorprendentemente, el mismo resultado que antes :) (habiendo usado la transformada de Laplace hasta el final del cálculo anteriormente)

        
    respondido por el Eric Best

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