¿Cuál es la diferencia del cálculo del área para la función delta de Dirac cuando se usan diferentes límites de integración?
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x) dx = 1 $$
pero
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ delta (x) dx = u (t) $$
¿Cuál es la diferencia del cálculo del área para la función delta de Dirac cuando se usan diferentes límites de integración?
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x) dx = 1 $$
pero
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ delta (x) dx = u (t) $$
Al integrarse solo en \ $ t \ $ hay dos casos: if \ $ t < 0 \ $ entonces la integral es \ $ 0 \ $, si \ $ t \ geq 0 \ $ entonces la integral es \ $ 1 \ $: $$ \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ delta (x) dx = \ begin {cases} 0 \ text {,} t < 0 \\ 1 \ text {,} t \ geq 0 \ end {cases} $$
Pero esta es solo otra forma de escribir la función de paso de unidad \ $ u (t) \ $ así
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ delta (x) dx = u (t) $$
Dado que $$ \ lim_ {t \ to \ infty} u (t) = 1 $$ entonces también es cierto que
$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x) dx = 1 $$
No hay contradicción.
$$ \ begin {matrix} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ \ delta (t) \ mathrm {d} t & = & \ lim _ {\ tau \ to \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ \ tau \ \ delta (t) \ mathrm {d} t \\ & = & \ lim _ {\ tau \ to \ infty} u (\ tau) \\ & = & 1 \ end {matriz} $$
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