Imagina que tengo un actuador electromagnético y resuelvo las ecuaciones diferenciales subyacentes. Obtuve una solución para la excitación sinusodial, como sigue (solo un ejemplo, no hay antecedentes físicos):
$$ G (\ mathrm {j} \ omega) = \ frac {I (\ mathrm {j} \ omega)} {U (\ mathrm {j} \ omega)} = \ frac {1} {1 + \ mathrm {j} \ omega T} $$
Ahora acabo de configurar
$$ \ mathrm {j} \ omega = s, \ quad s \ rightarrow \ text {Laplace Variable} $$
para obtener
$$ G (s) = \ frac {1} {1 + s T} $$
y afirmo que esta es la función de transferencia para el circuito eléctrico que alimenta el actuador. Estoy seguro de que los resultados que obtuve son correctos, pero me dijeron que no puedo configurar $$ \ mathrm {j} \ omega = s $$ sin más explicaciones.
Así que me pregunto cuáles son las condiciones para hacer lo que he hecho, ¿cómo puedo probar que ambas ecuaciones son correctas y explicarlas de una manera matemática correcta? Siento que todos (en la literatura) simplemente lo hacen o evitan el problema.
Explicación adicional:
El sistema G (jw) anterior muestra un comportamiento de paso bajo en el dominio de la frecuencia, medios para la excitación de voltaje sinusodial $$ i (\ mathrm {j} \ omega) = G (\ mathrm {j} \ omega) \ cdot u (\ mathrm {j} \ omega) = \ frac {1} {1+ \ mathrm {j} \ omega T} \ cdot u (\ mathrm {j} \ omega) $$ Obtengo una mayor amortiguación cuanto mayor es la frecuencia de la excitación.
Pero también sabemos que una función de transferencia $$ i (s) = G (s) \ cdot u (s) = \ frac {1} {1 + s T} \ cdot u (s) $$ Emocionado por un paso unitario. $$ u (s) = \ frac {u_0} {s} $$ también llevará a una solución válida, a saber, el exponencial típico $$ i (t) = u_0 \ cdot (1- e ^ {- t / T}) $$ PT1-comportamiento.
Entonces, ¿cuál es la condición, que un sistema que es válido en el dominio de frecuencia para señales armónicas en estado estable , también es válido en el dominio de Laplace estableciendo $$ \ mathrm {j } \ omega = s $$ para estado no estacionario por ejemplo para la excitación con un paso unitario?