¿Por qué mover el componente imaginario (\ $ i \ $ / \ $ j \ $) en el elemento condensador de una función de transferencia al numerador voltea el signo del coeficiente?

Esto es más una pregunta para math.stackexchange, pero recuerda que \ $ j = \ sqrt {-1} \ $. Por lo tanto, \ $ \ frac {1} {j} = \ frac {1} {\ sqrt {-1}} = \ frac {\ sqrt {-1}} {- 1} = - \ sqrt {-1} = -j \ $. Tenga en cuenta que multiplicé por \ $ \ frac {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {-1}} = 1 \ $ para eliminar la raíz cuadrada en el denominador.

Los demás te han dado la respuesta correcta y la has aceptado, sin embargo, la generalizaré para ti, ya que la situación general aparece con frecuencia.

Supongamos que tiene un número complejo expresado como una fracción, con frecuencia es conveniente separar las partes real e imaginaria. Para hacer eso quieres deshacerte de la parte imaginaria en el denominador. La forma en que lo hacemos es multiplicar la parte superior e inferior por el conjugado complejo del denominador.

Si un número se expresa como a + bj (ayb real y j es \ $ \ sqrt {-1} \ $) entonces el complejo conjugado es a-bj (es así de fácil, simplemente voltea el signo en la parte imaginaria) por lo que el producto del número con su complejo conjugado es

\ $ (a + bj) \ cdot (a - bj) = a ^ 2 + abj - abj + b ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 \ $, que es un número real.

En su ejemplo \ $ \ frac {1} {j} \ $, a = 0 y b = 1, por lo que el complejo conjugado es -j y el denominador \ $ (0 + j) \ cdot (0 - j) \ $ = +1, por lo que la respuesta es simplemente -j.

Dado que, por definición

$$ j \ cdot j = -1 $$

tenemos

$$ - j \ cdot j = 1 $$

por lo tanto

$$ - j = \ frac {1} {j} $$