Entendiendo la DTFT

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Así que estoy tomando un curso de procesamiento de señales en EE y mi profesor es un Ingeniero al que realmente le gustan las matemáticas, sin embargo, su libro que usamos para la clase cae en el terrible purgatorio de los libros de matemáticas en mi opinión: demasiado "riguroso" para ser Intuitivo y demasiado abreviado y da saltos que hacen imposible considerar riguroso.

Me deja rascándome la cabeza en el capítulo sobre la relación entre transformadas z, transformadas de Fourier, DTFT y DFT.

Aquí hay algunos extractos del libro:

  

Comparando \ $ V (z) \ $ (lo que significa implícitamente la transformada z de una secuencia, digamos v [n]) con la transformada de Laplace \ $ V_s (s) \ $, observamos que las dos transformaciones se relacionan con un simple Cambio de variables. En particular, dejando \ $ z = e ^ {Ts} \ $   tenemos:

     

\ $ V (z) | _ {z = e ^ {Ts}} = V (e ^ {Ts}) = \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} v_c (nT) e ^ {- nTs} = V_s (s) \ $ (donde \ $ V_s \ $ es la transformada de Laplace de la función idealmente muestreada con --fs = 1 / T - \ $ v_c \ $ que a su vez tiene un Laplace transformar)

Ahora aquí es donde comienza a perderme:

  

Observamos que la transformación \ $ z = e ^ {Ts} \ $ transforma el eje \ $ s = j \ omega \ $ en el círculo unitario: \ $ z = e ^ {j \ omega t} = e ^ {j \ Omega} \ $ donde \ $ \ Omega \ triangleq \ omega T \ $ que es la relación entre la frecuencia angular del dominio de tiempo discreto \ $ \ Omega \ $ en radianes y la frecuencia angular del dominio de tiempo continuo frecuencia \ $ \ omega \ $ en radianes / s. La línea vertical \ $ s = \ sigma_0 + j \ omega \ $ en el plano s se transforma en un círculo \ $ z = e ^ {\ sigma_0 T} e ^ {jT \ omega} \ $ en el plano z. De hecho, un polo en \ $ s = \ alpha + j \ beta \ $ se transforma en un polo \ $ z = e ^ {(\ alpha + j \ beta) T} \ $ de radio \ $ r = e ^ { \ alpha T} \ $ y el ángulo \ $ \ Omega = \ beta T \ $ en el plano z.

El último párrafo no significa mucho para mí y estoy teniendo dificultades con los siguientes conceptos que parecen bastante importantes:

  1. ¿Qué significa una frecuencia angular de dominio de tiempo discreto?
  2. ¿Qué quiere decir con el plano z en ese contexto?
  3. Al final, si consideramos las transformaciones como morfismo (no tengo suficientes antecedentes matemáticos serios para considerar los morfismos de los espacios funcionales, pero tengo alguna intuición en la forma de concepto isomorfos en LA abstracta), ¿quiere decir que la sustitución \ $ z = e ^ {j \ omega T} \ $ es un morfismo de "una especie de espacio funcional que resulta de la aplicación de la transformación z a las secuencias" a "¿un espacio funcional que consiste en funciones complejas definidas en el círculo?" (perdón si ese último bit fue tedioso para algunos de ustedes, solo trato de entenderlo, gracias)
pregunta SolipsistElvis

1 respuesta

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Desde el último párrafo resaltado:

  1. Quizás sea más fácil relacionar una demora de unidad en los dominios z y s; por lo tanto, \ $ e ^ {- sT} \ $ retrasa una señal continua por \ $ \ small T \ $ secs, y \ $ z ^ {- 1} \ $ es la función de demora de la unidad en el dominio z, que retrasa a Señal discreta por un incremento de muestreo. Por lo tanto, \ $ e ^ {- sT} \ leftrightarrow z ^ {- 1} \ $, o \ $ e ^ {sT} \ leftrightarrow z ^ {1} = z \ $ es a menudo una forma más conveniente.

  2. Para ir del dominio s al dominio de frecuencia, usamos \ $ s \ rightarrow j \ omega \ $. Usando la equivalencia en 1., arriba podemos ir del dominio z al dominio de frecuencia por: \ $ \ small z \ rightarrow e ^ {st} \ rightarrow e ^ {j \ omega T} = cos (\ omega T) + j \: pecado (\ omega T) \ $. Ahora, \ $ \ small \ omega T \ $ es un ángulo, que es proporcional a \ $ \ small \ omega \ $, y es conveniente denotar este ángulo, \ $ \ small \ Omega \ $, y pensar en \ $ \ small e ^ {j \ Omega} = cos \: \ Omega \: + \: j \: sin \: \ Omega \ $ como un vector que gira en sentido antihorario desde cero radianes a medida que la frecuencia aumenta desde \ $ \ small \ omega = 0 \ $ rad / seg.

  3. Ahora considere una raíz s-plane, \ $ \ small s = - \ alpha \ $. Esto se transformaría en una raíz del plano z: \ $ \ small z \ rightarrow e ^ {- \ alpha T} \ $, que es real, positiva y de menor magnitud que la unidad.

  4. Continuando, una raíz compleja en el plano s: \ $ \ small s = \: - \ alpha \: + j \: \ omega \ $ se transforma en \ $ \ small z \ rightarrow e ^ {- \ alpha T \: + j \: \ omega T} = \: e ^ {- \ alpha T} \: \ small (cos \: \ Omega \: + \: j \: sin \ Omega) \ $ , que es un vector giratorio en el sentido contrario a las agujas del reloj con un radio: \ $ \ small e ^ {- \ alpha T} \ $. La raíz conjugada giraría hacia la derecha con el mismo radio. Tenga en cuenta que el radio es \ $ \ small \ lt 1 \ $, es decir, los vectores están dentro del círculo unitario.

respondido por el Chu

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