Así que estoy tomando un curso de procesamiento de señales en EE y mi profesor es un Ingeniero al que realmente le gustan las matemáticas, sin embargo, su libro que usamos para la clase cae en el terrible purgatorio de los libros de matemáticas en mi opinión: demasiado "riguroso" para ser Intuitivo y demasiado abreviado y da saltos que hacen imposible considerar riguroso.
Me deja rascándome la cabeza en el capítulo sobre la relación entre transformadas z, transformadas de Fourier, DTFT y DFT.
Aquí hay algunos extractos del libro:
Comparando \ $ V (z) \ $ (lo que significa implícitamente la transformada z de una secuencia, digamos v [n]) con la transformada de Laplace \ $ V_s (s) \ $, observamos que las dos transformaciones se relacionan con un simple Cambio de variables. En particular, dejando \ $ z = e ^ {Ts} \ $ tenemos:
\ $ V (z) | _ {z = e ^ {Ts}} = V (e ^ {Ts}) = \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} v_c (nT) e ^ {- nTs} = V_s (s) \ $ (donde \ $ V_s \ $ es la transformada de Laplace de la función idealmente muestreada con --fs = 1 / T - \ $ v_c \ $ que a su vez tiene un Laplace transformar)
Ahora aquí es donde comienza a perderme:
Observamos que la transformación \ $ z = e ^ {Ts} \ $ transforma el eje \ $ s = j \ omega \ $ en el círculo unitario: \ $ z = e ^ {j \ omega t} = e ^ {j \ Omega} \ $ donde \ $ \ Omega \ triangleq \ omega T \ $ que es la relación entre la frecuencia angular del dominio de tiempo discreto \ $ \ Omega \ $ en radianes y la frecuencia angular del dominio de tiempo continuo frecuencia \ $ \ omega \ $ en radianes / s. La línea vertical \ $ s = \ sigma_0 + j \ omega \ $ en el plano s se transforma en un círculo \ $ z = e ^ {\ sigma_0 T} e ^ {jT \ omega} \ $ en el plano z. De hecho, un polo en \ $ s = \ alpha + j \ beta \ $ se transforma en un polo \ $ z = e ^ {(\ alpha + j \ beta) T} \ $ de radio \ $ r = e ^ { \ alpha T} \ $ y el ángulo \ $ \ Omega = \ beta T \ $ en el plano z.
El último párrafo no significa mucho para mí y estoy teniendo dificultades con los siguientes conceptos que parecen bastante importantes:
- ¿Qué significa una frecuencia angular de dominio de tiempo discreto?
- ¿Qué quiere decir con el plano z en ese contexto?
- Al final, si consideramos las transformaciones como morfismo (no tengo suficientes antecedentes matemáticos serios para considerar los morfismos de los espacios funcionales, pero tengo alguna intuición en la forma de concepto isomorfos en LA abstracta), ¿quiere decir que la sustitución \ $ z = e ^ {j \ omega T} \ $ es un morfismo de "una especie de espacio funcional que resulta de la aplicación de la transformación z a las secuencias" a "¿un espacio funcional que consiste en funciones complejas definidas en el círculo?" (perdón si ese último bit fue tedioso para algunos de ustedes, solo trato de entenderlo, gracias)