Tengo una geometría de la siguiente manera:
Este es un cilindro metálico hueco con una pequeña varilla metálica en el interior. La varilla está conectada a la parte inferior del cilindro, pero es un poco más corta que el cilindro exterior. Es algún tipo de cavidad coaxial. El radio más grande es rc, la longitud es l, la barra tiene un radio rr y una longitud l-d. Lo que quiero hacer ahora es resolver la ecuación de onda en este dominio. No sé si es posible hacerlo analíticamente, pero leí en un documento del IEEE que debería funcionar.
Para resolver mi problema, primero tomé la ecuación escalar de Helmholtz $$ \ frac {1} {\ varrho} \, \ frac {\ partial} {\ partial \ varrho} \ left (\ varrho \, \ frac {\ partial \ psi} {\ partial \ varrho} \ right) + \ frac {1} {\ varrho ^ 2} \, \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial \ varphi ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial z ^ 2} + k ^ 2 \, \ psi = 0 $$ Y lo intentó separar de la siguiente manera: $$ \ psi = R (\ varrho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z) $$ Ahora estoy interesado en el componente z del campo eléctrico. Las condiciones de contorno son: el componente z debe desaparecer en la pared exterior del cilindro de z = 0 a z = l, y también debe desaparecer en la pared interna de z = 0 a z = l-d. Usando la separación anterior, uno encuentra las tres EDOs. $$ Z '' + k_z ^ 2 \, Z = 0 $$ y $$ \ Phi '' + n ^ 2 \, \ Phi = 0 $$ y $$ \ varrho ^ 2 \, R '' + \ varrho \, R '+ R \ left (\ varrho ^ 2 \, a ^ 2 - n ^ 2 \ right) = 0 $$ y sé que necesito la función Bessel del primer tipo para resolver la última EDO. Sin embargo, no sé qué hacer con las condiciones de contorno porque tengo dos rangos diferentes para z, donde psi debe desaparecer. ¿Cómo puedo proceder?