¿Es una ecuación de diferencia causal, anti causal o no causal?

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Un sistema LTI de tiempo discreto estable se describe mediante la siguiente ecuación en diferencias:

$$   y [n] - y [n-1] + Cy [n-2] = x [n] $$

donde C es un número real. Determine el rango de C para que

(a) el sistema es causal;

(b) el sistema es anti causal;

(c) el sistema no es causal (es decir, tiene una respuesta de impulso de dos caras).

Es sencillo calcular la función de transferencia:

\ begin {align *}   Y (z) - z ^ {- 1} Y (z) + Cz ^ {- 2} Y (z) & = X (z) \\   H (Z) = \ frac {Y (z)} {X (z)} & = \ frac {1} {1 - z ^ {- 1} + Cz ^ {- 2}} \\ \ end {align *}

Se nos da que el sistema es estable, por lo que la ROC debe incluir el círculo unitario. Por lo tanto, no puede haber un polo con magnitud \ $ 1 \ $.

Con \ $ C = 0 \ $, \ $ H (z) = \ frac {1} {1 - z ^ {- 1}} \ $, hay un polo en \ $ 1 \ $ por lo que no es posible.

Con \ $ C = -2 \ $, \ $ H (z) = \ frac {1} {1 - z ^ {- 1} - 2z ^ {- 2}} = \ frac {\ frac {1 } {3}} {1 + z ^ {- 1}} + \ frac {\ frac {2} {3}} {1-2z ^ {- 1}} \ $, hay un polo en \ $ - 1 \ $ por lo que no es posible.

Desde allí, ¿a dónde voy?

En última instancia, esto puede influir en la forma:

$$   \ frac {k_1} {1 + a_1 z ^ {- 1}} + \ frac {k_2} {1 + a_2 z ^ {- 1}} $$

¿Es esa una función de transferencia causal o no? La transformada Z inversa puede producir una función de respuesta de impulso causal y no causal.

    
pregunta clay

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Este es un análisis de locus raíz con variable K.

Los polos son: $$ p_ {1,2} = \ frac {1} {2} (1 \ pm (1 - 4c) ^ {1/2}), | p_2 | < | p_1 | $$

Para \ $ c < = 1/4 \ $, los polos son reales. \ $ p_ {1} = 1 \ $ cuando \ $ c = 0 \ $.

Para \ $ c > 1/4 \ $, los polos son complejos, y su magnitud es: $$ | p_ {1,2} | = \ sqrt {\ frac {1} {4} (1 + (4c-1))} = \ sqrt {c} $$ que es igual a 1 cuando \ $ c = 1 \ $.

Por lo tanto, para \ $ c \ $, \ $ p_1 \ $ y \ $ p_2 \ $:

  • \ $ c = 0: p_1 = 1 \ $ (crítico), \ $ p_2 = 0 \ $ (estable)

  • \ $ c = 1: p_ {1,2} = 1/2 \ pm i \ sqrt (3) / 2 \ $ (estable no enmarcado, \ $ < 1 \ $)

  • \ $ c = 1/4: p_1 = 1/2, p_2 = 1/2 \ $ (estable sobrecalentado, \ $ < 1 \ $)

Debido a que el tiempo de respuesta es dado, con retrasos negativos, el sistema es casual, independientemente de \ $ c \ $.

Si solo se proporcionó \ $ H (z) \ $ y no hubo respuesta de tiempo, obtenemos la división explícita, para inspeccionar cada término convergente que involucra sumas infinitas: $$   H (Z) = \ frac {1} {p_1-p_2} (\ frac {p_1} {1 - p_1 z ^ {- 1}} - \ frac {p_2} {1 - p_2 z ^ {- 1}}) $$

Por lo tanto:

Para un sistema causal (no hay componentes divergentes en la suma, para cualquier \ $ c \ $):

$$ | p_1 z ^ {- 1} | < 1 y | p_2 z ^ {- 1} | < 1 \ rightarrow max (| p_1 |, | p_2 |) < | z | $$

if \ $ c < = 1/4 \ $: \ $ \ frac {1} {2} (1 + (1 - 4c) ^ {1/2}) < | z | \ $

si \ $ c > 1/4 \ $: \ $ \ sqrt {c} < | z | \ $

Para un sistema anti-causal (ambos componentes diverge):

$$ | p_1 z ^ {- 1} | > 1 y | p_2 z ^ {- 1} | > 1 \ rightarrow min (| p_1 |, | p_2 |) > | z | $$

if \ $ c < = 1/4 \ $: \ $ \ frac {1} {2} (1 - (1 - 4c) ^ {1/2}) > | z | \ $

si \ $ c > 1/4 \ $: \ $ \ sqrt {c} > | z | \ $

Para un sistema no causal (una divergencia de un componente y la otra converge):

$$ | p_1 z ^ {- 1} | > 1 y | p_2 z ^ {- 1} | < 1 \ rightarrow | p_2 | < | z | < | p_1 | $$

if \ $ c < = 1/4 \ $: \ $ \ frac {1} {2} (1 - (1 - 4c) ^ {1/2}) < | z | < \ frac { 1} {2} (1 + (1 - 4c) ^ {1/2}) \ $

si \ $ c > 1/4 \ $: \ $ \ sqrt {c} = | z | \ $

en MATLAB, haciendo: 

h = tf([1],[1 -1 0],1); rlocus(h); axis equal;

obtienes el 'locus variable', aunque aquí la interpretación correcta de los valores c es artificial.

Q.E.P.D.

    
respondido por el Brethlosze

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