Dado el sistema causal con función de transferencia
$$ H (z) = \ frac {z ^ {- 1} + \ frac {1} {2} z ^ {- 2}} {1- \ frac {3} {5} z ^ {- 1} + \ frac {2} {25} z ^ {- 2}} $$
Puedo calcular la respuesta de impulso para ser:
$$ h [n] = \ frac {25} {4} \ delta [n] - \ frac {35} {2} \ left (\ frac {1} {5} \ right) ^ n u [n] + \ frac {45} {4} \ left (\ frac {2} {5} \ right) ^ n u [n] $$
¿Cuál es la ecuación de la diferencia de coeficiente constante que relaciona la entrada y la salida que representa este sistema?
Si divido los tres términos de la función de impulso, puedo calcular ecuaciones de diferencia separadas para cada término por separado, pero tengo problemas para volver a combinarlas. Tal vez ese no sea el camino a seguir?
Aquí está mi trabajo en esa dirección:
\ begin {align *} y [n] & = h [n] * x [n] = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ \ infty x [k] h [nk] = \ sum \ limits_ {k = - \ infty } ^ \ infty x [nk] h [k] \\ y_1 [n] & = \ frac {25} {4} x [n] \\ y_2 [n] & = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ \ infty h_2 [k] x [n-k] \\ y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {5} \ right) ^ k x [n-k] \\ y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {-35} {2} \ sum \ limits_ {k = 1} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {5} \ derecha) ^ kx [nk] \\ y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {-35} {2} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {5} \ derecha) ^ {k + 1} x [n- (k + 1)] \\ y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {1} {5} \ cdot \ frac {-35} {2} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {5} \ right) ^ kx [(n-1) -k] \\ y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {1} {5} y_2 [n-1] \\ y_3 [n] & = \ frac {45} {4} x [n] + \ frac {2} {5} y_3 [n-1] \\ y [n] & = \ frac {25} {4} x [n] + \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {1} {5} y_2 [n-1] + \ frac {45} {4} x [n] + \ frac {2} {5} y_3 [n-1] \\ y [n] & = \ frac {1} {5} y_2 [n-1] + \ frac {2} {5} y_3 [n-1] \\ y [n-1] & = \ frac {25} {4} x [n-1] + y_2 [n-1] + y_3 [n-1] \\ \ end {align *}