Calcular la ecuación de diferencia a partir de la respuesta al impulso

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Dado el sistema causal con función de transferencia

$$   H (z) = \ frac {z ^ {- 1} + \ frac {1} {2} z ^ {- 2}} {1- \ frac {3} {5} z ^ {- 1} + \ frac {2} {25} z ^ {- 2}} $$

Puedo calcular la respuesta de impulso para ser:

$$   h [n] = \ frac {25} {4} \ delta [n] - \ frac {35} {2} \ left (\ frac {1} {5} \ right) ^ n u [n] + \ frac {45} {4} \ left (\ frac {2} {5} \ right) ^ n u [n] $$

¿Cuál es la ecuación de la diferencia de coeficiente constante que relaciona la entrada y la salida que representa este sistema?

Si divido los tres términos de la función de impulso, puedo calcular ecuaciones de diferencia separadas para cada término por separado, pero tengo problemas para volver a combinarlas. Tal vez ese no sea el camino a seguir?

Aquí está mi trabajo en esa dirección:

\ begin {align *}   y [n] & = h [n] * x [n] = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ \ infty x [k] h [nk] = \ sum \ limits_ {k = - \ infty } ^ \ infty x [nk] h [k] \\   y_1 [n] & = \ frac {25} {4} x [n] \\   y_2 [n] & = \ sum \ limits_ {k = - \ infty} ^ \ infty h_2 [k] x [n-k] \\   y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {5} \ right) ^ k x [n-k] \\   y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {-35} {2} \ sum \ limits_ {k = 1} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {5} \ derecha) ^ kx [nk] \\   y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {-35} {2} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {5} \ derecha) ^ {k + 1} x [n- (k + 1)] \\   y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {1} {5} \ cdot \ frac {-35} {2} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ \ infty \ left (\ frac {1} {5} \ right) ^ kx [(n-1) -k] \\   y_2 [n] & = \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {1} {5} y_2 [n-1] \\   y_3 [n] & = \ frac {45} {4} x [n] + \ frac {2} {5} y_3 [n-1] \\   y [n] & = \ frac {25} {4} x [n] + \ frac {-35} {2} x [n] + \ frac {1} {5} y_2 [n-1] + \ frac {45} {4} x [n] + \ frac {2} {5} y_3 [n-1] \\   y [n] & = \ frac {1} {5} y_2 [n-1] + \ frac {2} {5} y_3 [n-1] \\   y [n-1] & = \ frac {25} {4} x [n-1] + y_2 [n-1] + y_3 [n-1] \\ \ end {align *}

    
pregunta clay

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Sabemos que la unidad de respuesta al impulso es la función de transferencia, por lo tanto podemos escribir:

\ $ \ dfrac {Y (z)} {X (z)} = H (z) = \ dfrac {z ^ {- 1} + \ frac {1} {2} z ^ {- 2}} {1- \ frac {3} {5} z ^ {- 1} + \ frac {2} {25} z ^ {- 2}} \ $

donde \ $ X (z) \ $ y \ $ Y (z) \ $ son las señales de entrada y salida, respectivamente.

Multiplicación cruzada:

\ $ Y (z) (1- \ frac {3} {5} z ^ {- 1} + \ frac {2} {25} z ^ {- 2}) = X (z) (z ^ {-1} + \ frac {1} {2} z ^ {- 2}) \ $

Transformación z inversa y reorganización:

\ $ y (n) = x (n-1) + \ frac {1} {2} x (n-2) + \ frac {3} {5} y (n-1) - \ frac { 2} {25} y (n-2) \ $

    
respondido por el Chu

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