¿Derivación de la impedancia característica?

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Comienzo a partir de la ecuación del telegrafista: \ $ - \ frac {dV (z)} {dz} = (R '+ j \ omega L') I (z) \ $, donde \ $ V (z) \ $ y \ $ I (z) \ $ son los fasores de voltaje y corriente respectivamente, en el modelo de línea de transmisión. \ $ R '\ $ y \ $ L' \ $ son la resistencia por unidad de longitud y la inductancia por unidad de longitud respectivamente.

La solución a la ecuación de onda \ $ \ frac {d ^ 2V (z)} {dz ^ 2} - \ gamma ^ 2V (z) = 0 \ $ donde \ $ \ gamma = \ sqrt {(R ' + j \ omega L ') (G' + j \ omega C ')} \ $ tiene la forma \ $ V (z) = V_o ^ + e ^ {- \ gamma z} + V_o ^ -e ^ {\ gamma z} \ $. \ $ G '\ $ y \ $ C' \ $ son respectivamente la conductancia por unidad de longitud y capacitancia por unidad de longitud de la línea de transmisión.

De la ecuación del telegrafista obtenemos: \ $ - \ frac {dV (z)} {dz} = \ gamma V_o ^ + e ^ {- \ gamma z} - \ gamma V_o ^ -e ^ {\ gamma z } = \ gamma (V_o ^ + e ^ {- \ gamma z} -V_o ^ -e ^ {\ gamma z}) = (R '+ j \ omega L') I (z) \ $

\ $ I (z) = \ frac {\ gamma} {R '+ j \ omega L'} (V_o ^ + e ^ {- \ gamma z} -V_o ^ -e ^ {\ gamma z}) \ $

... y estoy atrapado aquí.

Dada esa impedancia característica \ $ \ frac {V_o ^ +} {I_o ^ +} = Z_o = \ frac {V_o ^ -} {I_o ^ -} \ $, ¿cómo llego a \ $ Z_o = \ frac {R '+ j \ omega L'} {\ gamma} = \ sqrt {\ frac {R '+ j \ omega L'} {G '+ j \ omega C'}} \ $?

No estoy seguro de cómo obtener \ $ Z_o \ $ de \ $ \ frac {V_o ^ + e ^ {- \ gamma z} + V_o ^ -e ^ {\ gamma z}} {I (z) } = \ frac {V_o ^ + e ^ {- \ gamma z} -V_o ^ -e ^ {\ gamma z}} {I_o ^ + e ^ {- \ gamma z} + I_o ^ -e ^ {\ gamma z }} \ $

    
pregunta photon

2 respuestas

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Esta parece la forma más sencilla de obtener la impedancia característica. R, L, G y C representan: -

  • resistencia en serie del cable / longitud
  • inductancia serie de cable / longitud
  • conductancia paralela del cable / longitud
  • capacitancia paralela del cable / longitud

Por lo tanto, la impedancia de un "bulto" corto que comprende estos elementos es: -

\ $ Z_0 = R + jwL + Z_o // \ dfrac {1} {G + jwC} \ $

En otras palabras, la impedancia que mira al "bulto" es la impedancia en serie (\ $ R + jwL \ $) más los componentes de la derivación y los componentes de la derivación son: -

G y C más el siguiente "bulto" que "se ofrece" a sí mismo como otro bulto de \ $ Z_0 \ $.

\ $ Z_0 = R + jwL + \ dfrac {\ frac {Z_0} {G + jwC}} {Z_0 + \ frac {1} {G + jwC}} \ $

\ $ Z_0 = R + jwL + \ dfrac {Z_0} {1 + Z_0 (G + jwC)} \ $

multiplicar por \ $ 1 + Z_0 (G + jwC) \ $ da: -

\ $ Z_0 [1 + Z_0 (G + jwC)] = [R + jwL] [1 + Z_0 (G + jwC)] + Z_0 \ $

que se convierte en esto: -

\ $ Z_0 + Z_0 ^ 2 (G + jwC) = R + jwL + Z_0 [(R + jwL) (G + jwC)] + Z_0 \ $

Lo importante a continuación es reconocer que \ $ (R + jwL) (G + jwC) \ $ es insignificante ya que el "bulto" se acerca a la longitud cero y nos quedamos con: -

\ $ Z_0 ^ 2 (G + jwC) = R + jwL \ $

por lo tanto, \ $ Z_0 = \ sqrt {\ dfrac {R + jwL} {G + jwC}} \ $

    
respondido por el Andy aka
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es muy fácil. Primero, pones I (z) = Io + e-yz + Io-eyz.suststituye Vo + = Io + * Zo y Vo - = - Io- * Zo en la ecuación donde te quedaste atascado.

    
respondido por el Aditee Sinha

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