¿Qué significa tener un polo o cero en el infinito?

Los polos en el infinito se obtienen cuando el orden del numerador es mayor que el orden del denominador. Considere una función de transferencia G (s) con un numerador de orden n, y denominador de orden m, y con n > m. Habrá n ceros finitos y m polos finitos y, como s- > infinito, los polos m cancelarán m de los ceros numeradores dejando (n-m) ceros, por lo tanto, G (s) - > Infinito y habrá polos (n-m) en el infinito.

por ejemplo G (s) = (s + a) tiene un cero finito en s = -a y un polo en s = infinito

A la inversa, si el denominador es de orden superior al numerador (como debe ser el caso de un sistema físicamente realizable), m > n, habrá (m-n) ceros en el infinito.

por ejemplo G (s) = 1 / (s + b) tiene un polo finito en s = -b y un cero en s = infinito; G (s) = (s + a) / s (s + b) tiene polos finitos en s = 0 y s = -b, un cero finito en s = -a, y un cero en s = infinito

En términos de diseño, el lugar de la raíz a menudo encuentra la aplicación. Esto generalmente rastrea el lugar de los polos de bucle cerrado a medida que la ganancia del camino hacia adelante, K, aumenta desde cero hasta el infinito. El lugar puede tener varias ramas, que comienzan en los polos finitos de bucle abierto y terminan en los ceros de bucle abierto; pero si hay más polos que ceros (como es habitual), el exceso de ramas que no pueden encontrar un cero finito para terminar se moverá a ceros en el infinito.

Es esclarecedor determinar la respuesta de frecuencia gráficamente utilizando el plano s complejo. Para hacer esto, se dibujan los polos y ceros finitos, luego, para encontrar la ganancia (y el ángulo de fase) en cualquier frecuencia, w, dibuje vectores desde el punto s = jw en el eje imaginario, a todos los polos y ceros y la ganancia será el producto de las longitudes de los vectores cero dividido por el producto de las longitudes de los vectores polares. El ángulo de fase será la suma de todos los ángulos formados por los vectores cero menos la suma de todos los ángulos formados por los vectores polares. Si no hay ceros finitos (por ejemplo, G (s) = K / (s + a)), entonces use K para la longitud del vector y 0 para el ángulo.

Entonces, por ejemplo, si hay un polo en el eje jw en, por ejemplo, s = jw1, entonces a medida que w aumenta desde 0, la longitud del vector de s = jw a s = jw1 disminuirá hasta que, cuando w = w1, la longitud del vector será cero y la ganancia del TF será infinita. Esta es la resonancia y, dado que el polo está en el eje imaginario, la respuesta es infinita en esta frecuencia. Si el polo está ligeramente fuera del eje imaginario, la longitud del vector no alcanzará el cero, sino que se reducirá a medida que la trayectoria lo pase en su viaje hacia arriba del eje jw. Esto también es resonancia, pero el pico de resonancia no es de altura infinita ya que la longitud del vector nunca llega a cero. Cuanto más lejos esté el polo del eje jw, menor será el pico de resonancia. es decir, a medida que los polos se mueven hacia la izquierda, alejados del eje jw, las resonancias del sistema se vuelven de menor magnitud, el sistema se vuelve más estable (y más rápido, pero esa es otra historia)

Supongamos que tenemos un sistema con una respuesta del sistema de \ $ H (s) \ $ (es decir, la transformada de Laplace de la respuesta al impulso).

Entonces \ $ H (s) \ $ tiene un cero / polo en el infinito si la función $$ H (1 / s) $$ tiene un cero / polo en \ $ s = 0 \ $. Esta es una definición, por lo que no hay derivación.

Si hay un polo en el infinito, esto significa que la respuesta de frecuencia \ $ H (i \ omega) \ $ va a infinito para \ $ \ omega \ to \ infty \ $, lo que puede hacer que el sistema sea inestable. Un ejemplo es el por ej. el diferenciador, que tiene la función de transferencia \ $ s \ $ y por lo tanto un polo en el infinito.

En respuesta a la excelente explicación de Chu, la ganancia, K, es igual a (producto de longitudes de polo / producto de longitud cero) ..

El valor que ha descrito como ganancia, en realidad define la magnitud M, con M = 1 / K.