Explicación de la función de transferencia de segundo orden

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Estoy leyendo acerca de la función de transferencia de 2º orden de un sistema de 2º orden (como el sistema de amortiguador de resorte de masa). Constantemente veo el siguiente formulario como el estándar:

\ begin {equation} H (s) = \ frac {\ omega_0 ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_0 s + \ omega_0 ^ 2} \ end {ecuación}

Pero mis preguntas son:

  1. ¿Por qué no hay ceros en esta forma estándar? Por lo que estoy leyendo, la función general de transferencia de segundo orden puede tener ceros, pero en esa forma no hay ninguno y se dice que es el estándar.

  2. ¿Por qué no hay ganancia? Apenas me enteré de las fuentes que incluso mencionaron la ganancia. Su forma estándar era:

\ begin {equation} H (s) = \ frac {K \ cdot \ omega_0 ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_0 s + \ omega_0 ^ 2} \ end {ecuación}

  1. De lo que entiendo la forma general, la que debería llamarse estándar, debería derivarse de la forma general de la ecuación diferencial de segundo orden:

\ begin {equation} a_ {2} \ frac {d ^ {2} y (t)} {dt ^ {2}} + a_ {1} \ frac {dy (t)} {dt} + a_ {0} y (t) = b_ {m} \ frac {d ^ {m} x (t)} {dt ^ {m}} + b_ {m-1} \ frac {d ^ {m-1} x (t)} {dt ^ { n-1}} + ... + b_ {0} x (t) \ end {ecuación}

Pero por lo que veo se deriva de una forma no tan general:

\ begin {equation} \ frac {d ^ {2} y (t)} {dt ^ {2}} + a_ {1} \ frac {dy (t)} {dt} + a_ {0} y (t) = x (t) \ end {ecuación}

¿Por qué es eso?

Ya he leído esas preguntas (1) , (2) y aunque no son muy similares, los menciono en caso de que alguien los vea como duplicados.

    
pregunta Adam

5 respuestas

1

Comience con un sistema general. Suponga que todos los polos son distintos para simplificar el análisis.

$$ \ frac {K \ left (s + z_1 \ right) \ left (s + z_2 \ right) \ ldots \ left (s + z_m \ right)} {\ left (s + p_1 \ right) \ left (s + p_2 \ right) \ ldots \ left (s + p_n \ right)} $$

Suponiendo que hay \ $ q \ $ polos reales y \ $ r \ $ pares de polos complejos conjugados, la expansión de fracción parcial produce lo siguiente:

$$ \ sum _ {j = 1} ^ q \ frac {a_j} {s + p_j} + \ sum _ {k = 1} ^ r \ frac {b_k \ left (s + \ zeta _k \ omega _k \ right) + c_k \ omega _k \ sqrt {1- \ zeta _k ^ 2}} {s ^ 2 + 2 \ zeta _k    \ omega _k s + \ omega _k ^ 2} $$

La transformada de Laplace inversa da la respuesta de impulso de la unidad.

$$ \ sum _ {j = 1} ^ q a_j e ^ {- p_j t} + \ sum _ {k = 1} ^ r b_k e ^ {- \ zeta _k \ omega _k t} \ cos \ izquierda (\ omega _k \ sqrt {1- \ zeta _k ^ 2} t \ right) + \ sum _ {k = 1} ^ r    c_k e ^ {- \ zeta _k \ omega _k t} \ sin \ left (\ omega _k \ sqrt {1- \ zeta _k ^ 2} t \ right) $$

La ganancia \ $ K \ $ y los ceros \ $ z_i \ $ contribuyen a los coeficientes \ $ a_j \ $, \ $ b_k \ $, y \ $ c_k \ $. Estos determinan la contribución de los términos más simples a la respuesta total. Los términos más simples provienen de los sistemas de primer y segundo orden, que son los componentes básicos del sistema más grande. Así que el sistema de segundo orden a considerar es:

$$ \ frac {1} {s ^ 2 + 2 \ zeta _k \ omega _k s + \ omega _k ^ 2} $$

Sin embargo, sería más uniforme considerar lo siguiente:

$$ \ frac {\ omega _k ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta _k \ omega _k s + \ omega _k ^ 2} $$

(Esto tiene el efecto de escalar los coeficientes \ $ b_k \ $ y \ $ c_k \ $). ¿Por qué esto es más uniforme? Porque ahora todos los sistemas de segundo orden tienen ganancias de unidad de CD y su importancia relativa está dada por los coeficientes \ $ b_k \ $ y \ $ c_k \ $ (que capturan el efecto de los ceros y la ganancia en el sistema).

Ahora para dar respuestas específicas a tus preguntas:

  1. No hay ceros en la forma estándar, porque el efecto de los ceros son capturados por las constantes \ $ a_j \ $, \ $ b_k \ $ y \ $ c_k \ $. Estas constantes determinan la importancia relativa de los sistemas de primer y segundo orden más simples en la respuesta general del sistema.
  2. Igual que el anterior.
  3. La forma general es mucho más general que un sistema de segundo orden. Incluso entonces se puede descomponer en sistemas de primer y segundo orden más simples.
respondido por el Suba Thomas
1

  1. porque todo lo que se está modelando resulta ser un filtro de paso bajo de segundo orden.

  2. porque la ganancia en DC es evidentemente de 1 (o 0 dB).

  3. misma respuesta que 1.

respondido por el robert bristow-johnson
1

  1. Un cero complicaría la dinámica y restaría valor a la conceptualización / ROT, como lo haría un denominador de orden superior. Desafortunadamente, no todos los sistemas pueden ser modelados adecuadamente por un TF estándar de segundo orden.

  2. Algunas formas estándar incluyen un término de ganancia. Un término de ganancia no afecta la forma de la respuesta transitoria, solo la magnitud y el valor de estado estacionario

  3. La EDO no homogénea de segundo orden define o se aproxima a muchos sistemas de ingeniería fundamentales

respondido por el Chu
1

Tiene razón, la función de transferencia general de segundo orden es una función bicuadrada H (s) = N (s) / D (s) con

N (s) = Ao + A1s + A2s ^ 2 y D(s)=1+B1s+B2s^2

(Observación: Debido a una división por un factor adecuado, siempre es posible tener "1" en el denominador D)

Esta función se puede realizar utilizando Biquad-blocks (usando opamps). Sin embargo, en la mayoría de los casos, solo se utilizan algunos formularios especiales, por ejemplo:

  • Paso bajo: A1 = A2 = 0 con ganancia de CC Ao
  • Bandpass: Ao = A2 = 0 con ganancia de banda media A1 / B1
  • Paso alto: Ao = A1 = 0 con máx. ganar A2 / B2.
  • Tope de banda: A1 = 0
  • Allpass: Ao = 1, A1 = -B1, A2 = B2.

EDIT : después de introducir la frecuencia de polo wp y el factor de calidad de polo Qp en la función de transferencia, llegamos a: H (s) = N (s) / D (s) con

N (s) = wp ^ 2 (Ao + A1s + A2s ^ 2) y D (s) = s ^ 2 + swp / Qp + wp ^ 2

Nota (su terminología): Qp = 1/2 * theta y wo = wp.

    
respondido por el LvW
1

Aquí hay algunas ecuaciones generalizadas para los filtros de segundo orden: -

Observequelafórmulaenlapreguntaeslaformageneralizadaparaunfiltrodepasobajoytambiéntengaencuentaqueparaquelaecuaciónformeun"cero", "s" debe estar presente en el numerador. No está presente en el filtro de paso bajo, pero una "s" está presente es: -

  • Highpass
  • paso de banda
  • Muesca

Para el paso alto y el paso de banda, el cero es cuando jw = 0 pero para un filtro de muesca, el cero se produce cuando s = \ $ \ omega_N \ $.

    
respondido por el Andy aka

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