En realidad, hay una manera muy sencilla de abordar esto, si no te importa utilizar un cálculo matricial (por ejemplo, Matlab).
En el análisis de circuito tradicional, la variable desconocida es un vector de voltajes que corresponden a los puertos. Elija uno de los puertos como referencia, usaré el de abajo, ya que es donde solemos poner los planos en los esquemas)
$$ \ mathbf {x} = \ left [\ begin {array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} { c} V_ {15} \\ V_ {25} \\ V_ {35} \\ V_ {45} \ end {array} \ right] $$
Para cada puerto tiene una configuración de ecuación de voltaje trivial que el voltaje del puerto a la entrada aplicada, o una conservación de la ecuación actual (la corriente neta de un puerto desconectado es cero).
Para la excitación conectada a los puertos 1 y 2, la ecuación trivial es
$$ x_1 - x_2 = V_ {input} $$
y las ecuaciones de KCL son (utilizando la conductancia G, que es el recíproco de la resistencia R)
(puerto 3) $$ G_2 (x_3-x_1) + G_5 (x_3-x_2) + G_8 (x_3-x_4) + G_9 (x_3) = 0 $$
(puerto 4) $$ G_3 (x_4-x_1) + G_6 (x_4-x_2) + G_8 (x_4-x_3) + G_ {10} (x_4) = 0 $$
(puerto 5) $$ G_4 (-x_1) + G_7 (-x_2) + G_9 (-x_3) + G_ {10} (- x_4) = 0 $$
Debido a que hay una ecuación para cada puerto y una desconocida para cada puerto, inmediatamente tiene un sistema de ecuaciones lineales. Mientras este sistema no sea degenerado (lo que nunca ocurre con el gráfico de resistencias totalmente conectado, si todos los valores de resistencia son finitos) habrá una solución única.
$$ \ left [\ begin {array} {c c c c} 1 & -1 & -0 & 0 \\ -G_2 & -G_5 & G_2 + G_5 + G_8 + G_9 & -G_8 \\ -G_3 & -G_6 & -G_8 & G_3 + G_6 + G_8 + G_ {10} \\ -G_4 & -G_7 & -G_9 & -G_ {10} \ end {array} \ right] \ mathbf {x} = \ left [\ begin {array} {c} V_ {input} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right ] $$
Una inversión de matriz simple, que se automatiza fácilmente, produce todos los voltajes de puerto en términos de las resistencias.
A diferencia del análisis tradicional, usted desea las resistencias, por lo que organizaremos la matriz de la otra manera e incluiremos la corriente de excitación:
$$ G_1 (x_1-x_2) + G_2 (x_1-x_3) + G_3 (x_1 - x_4) + G_4 (x_1) = i_ {exc} $$
$$ \ left [\ begin {array} {c c c c c c c c c c} x_1-x_2 & x_1-x_3 & x_1-x_4 & x_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x_3-x_1 & 0 & 0 & x_3-x_1 & 0 & 0 & x_3-x_4 & x_3 & 0 \\ 0 & 0 & x_4-x_1 & 0 & 0 & x_4-x_2 & 0 & x_4-x_3 & 0 & x_4 \\ 0 & 0 & 0 & -x_1 & 0 & 0 & -x_2 & 0 & -x_3 & -x_4 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {c} G_1 \\ G_2 \\ G_3 \\ G_4 \\ G_5 \\ G_6 \\ G_7 \\ G_8 \\ G_9 \\ G_ { 10} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {c} i_ {exc} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {array} \ right] $$
Ahora tendrás que tomar todos esos resultados juntos y obtener tus conductancias, que conducen fácilmente a las resistencias.
Calculemos el tamaño de ese paso final. Hay (k elige 2) resistencias totales, y tienes (k elige 2) formas de energizar el sistema, con (k-2) mediciones de voltaje intermedio de cada uno. Más una medida de corriente de energización para cada uno, si decide usarla. Esas (k-1) * (k elige 2) ecuaciones, que deberían ser suficientes para resolver (k elegir 2) resistencias desconocidas. El sistema estará demasiado restringido, pero tendrá un error de medición, por lo que un pseudoinverso proporcionará el conjunto de resistencias que sea más consistente (en un sentido de error de mínimos cuadrados) con sus mediciones.
Es de suponer que puede salirse con solo usar la ecuación para la corriente de entrada para cada (k elija 2) patrones de excitación, y tiene suficientes ecuaciones, pero sin redundancia, cualquier inexactitud de medición puede llevar a una gran discrepancia en el final. Las ecuaciones redundantes ayudan a proteger contra eso.
La clave para un enfoque sistemático es no escribir ecuaciones de bucle, deje que el sistema de álgebra matricial las obtenga automáticamente.
