¿Puede este ejemplo probar que bode plot no es correcto?

Gran pregunta. Creo que un error sutil te ha llevado a esta conclusión paradójica.

Cuando resolvieras la ecuación diferencial de segundo orden, habrías llegado a una solución general de:

$$ x (t) = c_1sin (t) + c_2cos (t) - \ frac {1} {3} sin (2t) $$

donde \ $ c_1 \ $ y \ $ c_2 \ $ son constantes determinadas por las condiciones iniciales. Parece que has asumido las condiciones iniciales de:

$$ x (0) = 0, \, \ punto {x} (0) = 0 $$

para llegar al término \ $ \ frac {2} {3} sin (t) \ $ . De hecho, si ese era el estado del sistema en el momento inicial, entonces habría un ligero impulso y, por lo tanto, un pequeño componente de frecuencia de banda ancha en la entrada para excitar la resonancia.

En cambio, si asume que el \ $ F \ $ externo es la única entrada al sistema, entonces las condiciones iniciales serían:

$$ x (0) = 0, \, \ punto {x} (0) = - \ frac {2} {3} $$

Al conectar esas condiciones iniciales, le dan constantes de \ $ c_1 = 0 \ $ y \ $ c_2 = 0 \ $ y, por lo tanto, una respuesta del sistema de solo:

$$ x (t) = - \ frac {1} {3} sin (2x) $$

que solo tiene componentes de frecuencia que existen en la entrada.

Tendemos a pasar por alto la derivación y la importancia de las condiciones iniciales al estudiar este material, por lo que creo que esta pregunta ha causado cierta confusión. ¡Así que gracias por mencionarlo!

En forma estándar $$ H (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$ su sistema de segundo orden $$ H (s) = \ frac {1} {(s ^ 2 + 1)} $$ exhibe una relación de amortiguamiento \ $ \ zeta = 0 \ $ (sin amortiguación o un oscilador).

La motivación principal (consulte la literatura) para la construcción de los diagramas de Bode es que los términos en la salida correspondientes a polos de partes reales negativas de un sistema se desvanecerán de manera constante estado ( que no se aplica a los osciladores ). Incluso en estos casos, el diagrama de Bode podría proporcionar una interpretación de la presencia de dos componentes de frecuencia diferentes en la salida. Consulte el diagrama de Bode a continuación (solo en magnitud) para su sistema. A la frecuencia de 2 rad / s, la respuesta esperada ocurre con una magnitud de 1/3. Ahora observe el pico, es decir, la ganancia infinita en la frecuencia de resonancia de 1 rad / s. Imagine que, al mismo tiempo, hay una entrada sinusoidal de magnitud cero en esta frecuencia (como lo hace en realidad), y que la ganancia infinita hará que la respuesta asuma el valor finito que no desaparece. Así que tienes ambos componentes en la salida.

Pregunta muy interesante. Tiene razón: utilizamos los diagramas de Bode para obtener la respuesta de estado estable de un sistema a las entradas sinusoidales.

En el sistema que tienes, los polos están en el eje imaginario (no tienen una parte real). Si tuviera la parte real de los polos en el lado izquierdo del plano s, los modos naturales del sistema desaparecerían y el comportamiento de estado estable se describiría 100% por la gráfica de Bode. Es decir, si los modos naturales del sistema no desaparecen, el diagrama de Bode solo le daría parte de la solución de estado cero, pero todavía tendrá para agregar la respuesta debida al propio sistema. Después de todo, todavía tiene un sistema linear (ecuación diferencial lineal) y su solución es superposition de los diferentes salidas Para sistemas asintóticamente estables, los términos transitorios se extinguirán, pero su sistema es marginalmente estable : hay términos que no están en descomposición.

En resumen, el diagrama de bode no tiene sentido para los sistemas inestables porque no hay un estado estable. Para sistemas marginalmente estables, al menos la respuesta no crece sin límites a medida que aumenta el tiempo. Y para sistemas asintóticamente estables, la respuesta de estado estacionario se describe completamente mediante el gráfico de Bode. Sin embargo, dicho esto, la matemática no se rompe : si agrega la respuesta natural del sistema a la dada por el diagrama de Bode, todavía obtendrá la solución total si el sistema es lineal (se mantiene la superposición) . Esto es cierto para los sistemas inestables, y lo único es que parte de la respuesta crecerá sin límites y no existe el estado de equilibrio.

Ahora, vamos a poner esto en contexto. Digamos que tiene una función de transferencia del sistema, \ $ H (\ text {s}) \ $ y tiene una entrada \ $ F (\ text {s} \ $ ). La respuesta en estado estacionario es solo la convolución de aquellos (multiplicación en el dominio de frecuencia). Entonces tendrías:

$$ Y_ {SS} = H (\ text {s}) F (\ text {s}) $$

Recuerde que \ $ H (\ text {s}) \ $ tiene los polos del sistema en su denominador, es decir,

$$ H (\ text {s}) = \ dfrac {N (\ text {s})} {\ Delta (\ text {s})} $$

Donde las raíces de \ $ \ Delta (\ text {s}) \ $ son los polos del sistema. Si \ $ F (\ text {s}) \ $ es la transformación de una función sinusoidal (por ejemplo, \ $ \ cos (\ omega _ot) \ $ por ejemplo), luego \ $ F (\ text {s}) = \ dfrac {s} {s ^ 2 + \ omega _o ^ 2} \ $ :

$$ Y_ {SS} = H (\ text {s}) F (\ text {s}) = \ dfrac {N (\ text {s})} { \ Delta (\ text {s})} \ cdot \ dfrac {s} {s ^ 2 + \ omega _o ^ 2} $$

Si haces una fracción parcial, podrías reescribirla como:

$$ Y_ {SS} = \ dfrac {A (\ text {s})} {\ Delta (\ text {s})} + \ dfrac {B (s )} {s ^ 2 + \ omega _o ^ 2} \ tag1 $$

La gráfica de bode describe el segundo término ( que es lo que realmente estás trazando ), el que tiene el término B en el numerador. Los modos naturales del sistema están descritos por el primer término, el que tiene el término A en el numerador, que desaparece para sistemas asintóticamente estables.

Si la parte real de las raíces de \ $ \ Delta (\ text {s}) \ $ no es negativa, el primer término en (1) será no desaparecer Entonces, aunque la gráfica de Bode aún le da parte de la solución, aún tiene que agregar la parte que no está en descomposición. La gráfica de bode no puede describir la respuesta completa a menos que el primer término en (1) tenga tendencia a 0.

Suposiciones mal entendidas:

Verifique, ya que una de estas declaraciones no es cierta.

• la entrada tiene un solo componente de frecuencia de entrada.
• la salida tiene dos frecuencias **

.

• El componente x se convierte en energía de resorte almacenada.

  • Si fuerza, F tiene un cambio cero en la fuerza estática (DC) y la aceleración sinusoidal mantiene este valor x , entonces la respuesta es solo una frecuencia única de cierta amplitud y fase.
  • No hay energía de excitación en la resonancia.

• Si x cambia, entonces la entrada tiene una función de Paso efectiva que se define por un espectro continuo de frecuencias con una amplitud decreciente frente a f .

  • El resultado neto de la resonancia de masa de resorte se debe a la componente de frecuencia-amplitud del cambio en la fuerza estática.
• Como se muestra, no tiene pérdidas y no hay amortiguación, por lo que la vibración resonante se mantiene.

Si x cambia y fuerza el pecado (2t) se aplica, la conclusión es verdadera. **