¿cómo va la corriente al infinito en un circuito LC ideal en resonancia?

  

¿Alguien puede explicar cómo la amplitud actual va hasta el infinito, en   resonancia?

La respuesta breve es que la corriente de estado estable de CA no es infinita, sino que, el circuito tiene no solución de estado estable de CA .

Recuerde que una de las suposiciones que justifican el análisis de CA (fasor) es que el circuito está en estado estacionario de CA , es decir, que todos los transitorios han decaído.

Para el circuito dado, la solución de dominio de tiempo para la corriente es proporcional a

$$ i (t) \ propto t \ cos \ left (\ frac {t} {\ sqrt {LC}} \ right), \, t \ ge 0 $$

La amplitud de la corriente comienza en cero y crece linealmente con el tiempo una vez que se cierra el interruptor pero para cualquier valor de tiempo \ $ t \ $, la corriente es finita , es decir, la corriente es nunca infinito.

Tenga en cuenta que esta solución no tiene un estado estacionario sinusoidal: la amplitud no se aproxima a una constante como \ $ t \ rightarrow \ infty \ $, por lo que esta solución no tiene representación de fasores y, por lo tanto, no debe sorprendernos que la aplicación del análisis de fasores este problema produce una división indefinida por cero resultado.

Dada la solución para la corriente, uno puede resolver los voltajes a través del inductor y el condensador, así como la energía almacenada en cada uno en función del tiempo.

Las diferentes condiciones iniciales tendrán diferentes energías iniciales, pero no afectarán el resultado principal de que la amplitud de la corriente aumentará sin límite una vez que se cierre el interruptor.

  

¿Puede enumerar los pasos que conducen a la derivación de la   expresión i (t) ∝ tcos (t / √LC), t≥0?

Por KVL, tenemos

$$ v_S = v_L + v_C = L \ frac {di} {dt} + \ frac {1} {C} \ int_0 ^ ti (\ tau) d \ tau $$

(asumimos una tensión inicial cero en el condensador).

Diferenciando ambos lados con respecto al tiempo y dividiendo a través de \ $ L \ $ rendimientos

$$ \ frac {d ^ 2i} {dt ^ 2} + \ frac {1} {LC} i = \ frac {1} {L} \ frac {dv_S} {dt} $$

Suponiendo que \ $ v_S = V \ cos \ omega_0 t \ $ produce la siguiente EDO de 2do orden no homogénea:

$$ \ frac {d ^ 2i} {dt ^ 2} + \ frac {1} {LC} i = - \ frac {\ omega_0 V} {L} \ sin \ omega_0 t $$

donde

$$ \ omega_0 = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} $$

Supongamos una solución del formulario

$$ i (t) = t \ left (A \ cos \ omega_0 t + B \ sin \ omega_0 t \ right) $$

Sustituye este \ $ i (t) \ $ en el ODE para encontrar

$$ A = \ frac {V} {2L}, B = 0 $$

  

Entiendo que la impedancia se reduce a cero, lo que explica la constante   Estado actual como infinito. Pero puedes explicar lo mismo por simple   ¿Análisis de circuito? Me refiero a que el voltaje a través del inductor es Vsinωt - Vc = L   di / dt, basado en un derivado que es positivo, la corriente   Aumenta. Pero, ¿qué hace que la corriente pase a ser infinita?

Sí, la impedancia neta cae a cero en un circuito resonante en serie cuando R es cero y, el voltaje en cada L y C también aumenta hasta el infinito, no podría ser otra cosa o usted no obtendría una corriente infinita. Ese es el simple análisis de circuito: tratar de equiparar \ $ V_L \ $ al voltaje de entrada menos \ $ V_C \ $ no ayuda realmente más que a recordar que los dos voltajes (en L y C) tienen fases opuestas, es decir, son 180 grados aparte.

¿Debería pensar en la fuente de conducción como una corriente constante (solo para evitar infinitos y mantener las cosas sensibles) que la corriente parece conducir a través de un cortocircuito en resonancia y esa corriente producirá una magnitud de tensión finita igual en cada una de ellas? Elemento determinado por la impedancia de los componentes (igual a la resonancia).

¡La corriente alcanzará el infinito de manera no instantánea porque la resonancia se produce en una onda sinusoidal pura y una onda sinusoidal pura tiene que haber existido hace mucho tiempo!

La transferencia de energía es exactamente la misma que cuando no está exactamente en resonancia o con un poco de resistencia, excepto que los números son infinitos (no es útil analizarlos en mi libro).

Hay condiciones iniciales: la aplicación de una onda sinusoidal a través de un interruptor es una condición inicial, pero si te refieres a un voltaje de CC a través del condensador, entonces esto continuará estando presente (en promedio) porque la energía contenida no tiene ningún lugar. para ser disipado (ni la fuente de voltaje perfecta ni el inductor) puede hacer esto. En un circuito real, esta "energía" de CC se quemará en la resistencia no cero de los cables.

  

Me refiero a que el voltaje a través del inductor es Vsinωt - Vc = L di / dt, basado en   Si el derivado es positivo, la corriente aumenta. Pero lo que hace que la   actual ir a infinito? Después de todo, por un simple circuito de solo L, el   el voltaje a través del inductor es Vsinωt = L di / dt y no se está recibiendo   infinito

En un circuito de solo L, el voltaje a través del inductor es $$ V \ sin (\ omega t) = L \ dfrac {di} {dt} $$ Esto significa que la corriente está aumentando o disminuyendo (según la onda sinusoidal) . En el caso de la resonancia, el voltaje a través del inductor es $$ V \ sin (\ omega t) - V_c $$ Aquí el punto clave es que el voltaje de la fuente y el voltaje del capacitor no necesitan ser de la misma polaridad. De hecho, estarán casi 90 grados desfasados, lo que hace la diferencia más que la de un simple circuito "L".

Esta diferencia se hace más y más a medida que el tiempo evoluciona. Parece que el condensador almacena energía de la fuente y la agrega con la fuente en el siguiente ciclo para aumentar más la corriente. Una mayor corriente significa más almacenamiento de energía en el inductor, que luego se devuelve al condensador, lo que resulta en una mayor carga (más voltaje) y el proceso se reforzará mutuamente.