Determinar las condiciones iniciales para un circuito simple

  

Estaría muy agradecido si alguien pudiera dar una respuesta concisa, cómo   para resolverlo, y si no es posible, por qué no es posible.

Es posible. Para \ $ t \ lt 0 \ $, el interruptor está en la posición 1 y usted tiene un circuito RC en serie en estado estable sinusoidal.

El voltaje del fasor a través del condensador en un circuito RC en serie está dado por:

$$ V_c (\ omega) = V_s \ frac {1} {1 + j \ omega RC} = V_s \ frac {e ^ {i \ phi}} {\ sqrt {1 + (\ omega RC) ^ 2}} $$

donde \ $ \ tan \ phi = - \ omega RC \ $.

En el caso del circuito en tu pregunta

$$ V_s = 10 \ sqrt {2} \; e ^ {i \ frac {\ pi} {4}} $$

$$ \ omega RC = 1 $$

Antes de que el interruptor cambie de estado, el circuito RC está en estado estable y por lo tanto

$$ V_c = 10 \ sqrt {2} \; e ^ {i \ frac {\ pi} {4}} \ frac {e ^ {- i \ frac {\ pi} {4}}} {\ sqrt {1 + 1}} = 10 \ mathrm V $$

Al convertirse en el dominio del tiempo, la tensión del condensador es, entonces,

$$ v_C (t) = 10 \ mathrm V \ cos (1000 \ cdot t) \ ;, t \ le 0 $$

y, por lo tanto, la tensión del condensador, justo antes de que cambie el interruptor, el estado es

$$ v_C (0-) = 10 \ cos (0-) = 10 \ mathrm V $$

Dado que el voltaje a través de un capacitor no puede cambiar instantáneamente (para una corriente finita a través), el voltaje a través del capacitor justo después de el interruptor cambia de estado no se modifica.

$$ v_C (0+) = v_C (0-) = 10 \ mathrm V $$

Este es el voltaje inicial del capacitor que se requiere para encontrar la solución para \ $ t \ gt 0 \ $

Primero, tenga en cuenta que \ $ \ small 14.1 \ $ es probablemente \ $ \ small 10 \ sqrt 2 \ $.

En \ $ \ small \ omega = 1000 \ $ rad / sec, \ $ \ small X_C = -j10 \ $. Por lo tanto, el voltaje a través del capacitor, relativo a una fuente de amplitud sinusoidal de amplitud \ $ \ small 10 \ sqrt2 \ $, pero con un ángulo de fase cero, \ $ \ small \ phi = 0 ^ o \ $, sería:

\ $ \ small V_C = 10 \ sqrt2 \: \ dfrac {-j10} {10-j10} = 10 \ sqrt 2 \: \ dfrac {-j} {1-j} = 10 \ sqrt 2 \: \ dfrac {1-j} {2} \ equiv 10 \: \ large \ angle \ small {-45 ^ o} \ $.

Sin embargo, la fuente realmente tiene un ángulo de fase, \ $ \ small \ phi = 135 ^ o \ $, por lo tanto, la real \ $ \ small V_C \ $ es:

\ $ \ small V_C = 10 \: \ large \ angle \ small (135-45) = 10 \: \ large \ angle \ small {90 ^ o} \ $.

Por lo tanto, cuando \ $ \ small t = 0 \ $, el voltaje del capacitor es: \ $ \ small V_C = 10 \: sin (90 ^ o) = 10V \ $, que es la condición inicial requerida.

No es suficiente conocer el RMS (o la amplitud) de la tensión del condensador, ya que no le indica la tensión exacta en el momento en que se cambia el interruptor (t = 0), pero solo el promedio en el tiempo (o el máximo).

Si desea usar el análisis de dominio de fasor para encontrar la condición inicial del capacitor, aún puede usarlo: también debe usar el ángel de fase . Junto con la amplitud, le indica el voltaje momentáneo en t = 0.

EDITAR: de acuerdo con la discusión en los comentarios, lo siguiente se aplica solo para el estado estacionario de DC.

Para mí, un estado estable significa que las propiedades de un sistema no cambian sus valores con el tiempo, es decir, para una propiedad p $$ dp / dt = 0 $$

Por lo tanto, los voltajes, las corrientes y la carga eléctrica dentro de la capacitancia deben ser estáticas.

Esta regla se infringe aquí porque la fuente e(t) intenta cambiar el voltaje para t<0 . Por lo tanto, no hay un estado estable mientras el interruptor está en la posición 1 como se afirma en la pregunta.

(Por eso, en los comentarios debajo de la pregunta, pregunte).