Soy un estudiante de Ingeniería Eléctrica y en mi clase de Circuitos, aprendí que usar las transformadas de Laplace es útil al analizar circuitos. Veo cómo hace que nuestros cálculos sean más fáciles, pero todavía no entiendo la intuición. Si alguien me puede explicar eso / señalarme algunos enlaces que expliquen la gran idea detrás del uso de las transformadas de Laplace. Además, no entiendo por qué cambiamos de jw al mirar impedancias.
Para el dominio del análisis de circuitos, el uso de transformaciones laplace nos permite resolver las ecuaciones diferenciales que representan estos circuitos mediante la aplicación de reglas simples y procesos algebraicos en lugar de técnicas matemáticas más complejas. También da una idea del comportamiento del circuito.
Hay muchas transformaciones diferentes posibles y el análisis de dominio es útil y quizás más fácil de enseñar que otras técnicas a menudo antes de que se abarque el uso completo del análisis complejo. No lo hace menos poderoso o útil, simplemente se adapta bien al problema en cuestión. A menudo, las transformaciones laplace se enseñan incluso antes de que las ecuaciones diferenciales se adopten por completo, por lo que es un enfoque complementario.
La intuición detrás de esto es que \ $ s \ $ es una "frecuencia compleja". \ $ s \ $ no se cambió a \ $ j \ omega \ $. Más bien, \ $ s \ $ es un número complejo que puede dividirse en sus partes reales e imaginarias que se llaman sigma y omega: \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $. En todo momento, siempre que veas \ $ s \ $ puedes sustituir \ $ \ sigma + j \ omega \ $ !
Lo que sucede cuando \ $ s \ $ aparentemente se reemplaza por \ $ j \ omega \ $ es que estamos considerando solo una porción particular del dominio de \ $ s \ $: el eje imaginario (positivo) . No estamos cambiando \ $ s \ $, sino que solo eliminamos la parte real \ $ \ sigma \ $ (o, más bien, ponemos a cero) y conservamos el componente \ $ j \ omega \ $.
Esto se debe a que el eje imaginario positivo en el complejo espacio de frecuencia de \ $ s \ $ es donde se encuentran las frecuencias ordinarias.
Entonces, por ejemplo, si tenemos una función de transferencia en términos de \ $ s \ $, entonces si observamos el segmento de esa función a lo largo del eje imaginario, que es generado por \ $ j \ omega \ $ para varios valores del parámetro \ $ \ omega \ $, entonces estamos viendo el dominio de frecuencia de esa función de transferencia: ¡la transformada de Fourier!
La transformada de Laplace es una generalización de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier termina incrustada en el dominio de Laplace a lo largo del eje imaginario. Es de valor complejo, pero su dominio es unidimensional. La transformada de Fourier maneja funciones invariantes en el tiempo (periódicas), pero Laplace generaliza las funciones que incorporan crecimiento o decrecimiento exponencial. Fourier trata con señales de la forma \ $ e ^ {jwt} \ $, mientras que Laplace trata con \ $ e ^ {st} \ $, donde \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $. Esto cubre los crecimientos / decaimientos exponenciales, así como las oscilaciones en crecimiento o en descomposición que no son periódicas.
Cuando establecemos \ $ \ sigma \ $ en cero, reteniendo \ $ j \ omega \ $, estamos realizando un viaje hacia la transformada de Fourier, porque, por ejemplo, nos interesa cómo una función de transferencia trata el tiempo invariable. señales que están bien representadas en esa transformación; es decir, cuál es la respuesta de frecuencia / fase.
Aquí hay algunas apuntes sobre interpretaciones cualitativas de las transformadas de Laplace.
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