¿Alguien me puede dar consejos sobre cómo puedo demostrar que la función de transferencia del filtro de comentarios múltiples a continuación es
\ $ T (s) = \ dfrac {- \ dfrac {1} {R_1 R_2 C_1 C_2}} {s ^ 2 + s \ dfrac {1} {C_1} \ left (\ dfrac {1} {R_1} + \ dfrac { 1} {R_2} + \ dfrac {1} {R_3} \ right) + \ dfrac {1} {R_2 R_3 C_1 C_2}} \ $
Simplemente no puedo encontrar una manera de obtener una expresión para
\ $ T (s) = \ dfrac {V_ {out} (s)} {V_ {in} (s)} \ $
Debes utilizar los conceptos básicos de tus supuestos ideales de opamp y derivar las ecuaciones KVL y KCL para Vout / Vin.
Si recuerda el supuesto ideal de operación "1", el voltaje del terminal inversor es igual al voltaje del terminal no inversor, por lo que el nodo, donde se conectan R2 y C2, está en tierra (lo llaman "virtual" ya que en realidad, el opamp obliga a este nodo a tierra con su ganancia infinita de bucle abierto en realimentación negativa).
Si recuerda la suposición ideal de opamp "2", los terminales de inversión / no inversión tienen una impedancia de entrada infinita, por lo que cualquier corriente que pase a través de R2 entra en C2, ya que no puede ingresar en el terminal de opamp.
A partir de ahí, tienes suficientes datos para encontrar las incógnitas. Para configurar algunas de las ecuaciones:
Primero, asigne la impedancia de C1 y C2 como Z1 y Z2 para facilitar el álgebra, donde
\ $ Z_1 = \ dfrac {1} {sC1} \ $
y
\ $ Z_2 = \ dfrac {1} {sC2} \ $.
Usamos la ley de Ohm:
\ $ i_ {C2} = \ dfrac {V_ {out} -0} {Z_2} \ $
(\ $ i_ {C2} \ $ es una abreviatura de la corriente a través de C2, y uso esta abreviatura en los siguientes pasos).
Con el supuesto ideal de opamp "2", podemos decir
\ $ i_ {C2} = i_ {R2} \ $.
Ahora podemos preguntar qué es iR2? Ya sabemos que es igual a iC2, pero nuestra estrategia es vincular una expresión para \ $ V_ {out} \ $ a una expresión para \ $ V_ {in} \ $. Una expresión equivalente que podríamos encontrar es que \ $ i_ {R2} \ $ es el voltaje en R2 dividido por R2. Sabemos que el voltaje a través de R2 es la diferencia de cualquiera que sea el voltaje del nodo donde se encuentran R1, R2, R3, C1, llámelo \ $ V_f \ $, y tierra.
Entonces
\ $ i_ {R2} = \ dfrac {0-V_f} {R2} \ $.
En realidad, aún no sabemos qué es \ $ V_f \ $, y es solo un marcador de posición para lo que sea ese voltaje.
Ahora podemos equiparar:
\ $ i_ {R2} = i_ {C2} = \ dfrac {-V_f} {R2} = \ dfrac {V_ {out}} {Z2} \ $
reordenar
\ $ V_f = \ dfrac {-V_ {out} \ cdot R2} {Z2} \ $
(observe que se parece a la expresión de Vout / Vin para una simple inversión de realimentación con ganancia -Rf / Rin)
Ahora hemos enlazado \ $ V_ {out} \ $ a \ $ V_f \ $, por lo que debemos hacer otro enlace desde \ $ V_f \ $ a \ $ V_ {in} \ $ desde donde podemos utilizar de sustituciones algebraicas para vincular directamente \ $ V_ {in} \ $ a \ $ V_ {out} \ $.
Para hacer esto, podemos utilizar una ecuación KCL "super" final si reconocemos que la corriente de \ $ V_f \ $ es igual a las corrientes de realimentación (\ $ i_ {C2} \ $, y \ $ i_ {R3} \ $) entrando en \ $ V_f \ $. Realmente no nos importa en qué dirección van las corrientes en relación con \ $ V_f \ $, siempre y cuando sus signos sean consistentes entre sí para la ecuación KCL.
Entonces, el super KCL en ese nodo:
\ $ \ dfrac {(V_ {out} -V_f)} {R3} + \ dfrac {V_ {out}} {Z2} = \ dfrac {V_f-V_ {in})} {R1} + \ dfrac {V_f} {Z1} \ $
En este punto, deberías poder resolver \ $ \ frac {V_ {out}} {V_ {in}} \ $ para esta ecuación al insertar el término derivado previamente para \ $ V_f = \ frac {- V_ {out} \ cdot R2} {Z2} \ $. Luego conecte los términos Z1 y Z2 con las complejas imedancias del capacitor.
Probablemente hay atajos o mejores formas de resolver esto. Esta solución es bastante aceptable, aunque puede ser más mecánica de lo que usaría alguien con experiencia.
Consejos:
(1) El voltaje en C2 es -Vout. Así:
\ $ I_ {C_2} = -sC_2 V_ {out} \ $
(2) El voltaje en R2 es:
\ $ V_ {R_2} = I_ {C_2} R_2 = -sR_2C_2 V_ {out} \ $
(3) Debido al motivo virtual: \ $ V_ {C_1} = V_ {R_2} \ $
Esto debería darte un buen comienzo.