Creo que el enlace a la dsp SE es muy bueno. Las matemáticas para explicar completamente el caso continuo son un poco delicadas, por lo que probablemente sea mejor entender solo las ideas principales.
Sin embargo, dada tu segunda pregunta en el comentario, quería escribir algo breve que no se menciona en las otras publicaciones.
Primero veamos la terminología:
Permita que \ $ H \ $ sea su sistema LTI. Es decir, ingresamos funciones en las funciones \ $ H \ $ y \ $ H \ $ devuelve. Escribimos esto como \ $ H (f (t)) (T) = H (f) (T) \ $. Tiene dos características principales dadas por el nombre.
Invarianza de tiempo: \ $ H (f (t + \ tau)) = H (f) (T + \ tau) \ $
Linealidad: \ $ H (af (t) + bg (t)) = aH (f) (T) + bH (g) (T) \ $
La función de transferencia en el dominio del tiempo de \ $ H \ $ se define como la función (única) \ $ h (t) \ $, de manera que para todas las funciones matemáticamente adecuadas \ $ f (t) \ $ tenemos
$$ H (f) (T) = (f * h) (T) = \ int _ {\ mathbb {R}} f (t) h (T-t) dt. $$
Supongamos que \ $ u_0 (t) \ $ denota la función de paso de unidad en \ $ 0 \ $ y sabemos \ $ H (u_0) (T) = y (T) \ $. Por invarianza de tiempo, sabemos que la respuesta a la función de paso \ $ u_ \ tau (t) \ $ (la función de paso de unidad donde ocurre el paso en el momento \ $ \ tau \ $) es \ $ y (T- \ tau) \ PS Por linealidad, si \ $ \ tau_1 < \ tau_2 \ $ sabemos la respuesta a su diferencia \ $ u _ {\ tau_1} (t) - u _ {\ tau_2} (t) = u _ {[\ tau_1, \ tau_2]} \ $ is \ $ y (T- \ tau_1) -y (T- \ tau_2) \ $.
Resumiendo, dado cualquier intervalo \ $ I = [\ tau_1, \ tau_2] \ $ conocemos \ $ H (u _ {[\ tau_1, \ tau_2]}) (T) \ $. Dada cualquier entrada matemáticamente adecuada \ $ f (t) \ $ (por ejemplo, una onda de diente de sierra), sabemos que \ $ f (t) \ $ se aproxima por funciones de la forma
$$ \ sum_i c_i u_ {I_i} (t) $$
para intervalos \ $ I_i \ $.
Por lo tanto, por linealidad, la respuesta a la entrada \ $ f (t) \ $ se aproxima por
$$ H (f) (T) \ sim \ sum_i c_i H (u_ {I_i}) (T) = \ sum_i c_i \ int_ {I_i} h (T-t) dt $$
donde $$ \ int_Ih (T-t) dt = \ int _ {\ tau_1} ^ {\ tau_2} h (T-t) dt = y (T- \ tau_1) - y (T- \ tau_2). $$