¿Qué es la función de transferencia de Laplace de una media móvil? $$ y_k = \ frac {x_k + x_ {k-1} + x_ {k-2} + x_ {k-3} + ... + x_ {k-N + 1}} {N} $$ Intenté obtenerlo de la función de transferencia de dominio z usando tablas de conversión: $$ \ frac {y_k} {x_k} = \ frac {1 + z ^ {- 1} + z ^ {- 2} + z ^ {- 3} + ... + z ^ {- N + 1}} {N} $$
Pero a menos que los haya leído mal, no tienen los "ladrillos" que necesito para llevarme a ningún lado.
$$ \ frac {y_k} {x_k} = \ frac {1 + z ^ {- 1} + z ^ {- 2} + z ^ {- 3} + ... + z ^ {- N + 1}} {N} $$
se puede reescribir como
$$ \ frac {y_k} {x_k} = \ frac {1} {N} \ frac {1-z ^ {- N}} {1-z ^ {- 1}} $$
Eso debería ser sencillo de modelar en el dominio s reemplazando z por $$ e ^ {sT} $$
es decir, $$ H (s) = \ frac {1} {N} \ frac {1-e ^ {- sTN}} {1-e ^ {- sT}} $$ $$$$
Esta es una función SINC en el dominio de frecuencia cuya magnitud en función de la frecuencia tiene la siguiente forma: $$ \ dfrac {sin (\ pi fN)} {Nsin (\ pi f)} $$
(
Solo para agregar a la pregunta (como tuve la misma vez hace un tiempo), la "versión continua" de la media móvil sería la integral de la ventana deslizante:
$$ y (t) = \ int_ {t-T} ^ {t} u (\ tau) d \ tau $$
Esto se puede escribir como:
$$ y (t) = \ int_ {0} ^ {t} u (\ tau) d \ tau - \ int_ {0} ^ {t-T} u (\ tau) d \ tau $$
Observando que el segundo término es una versión de la primera versión modificada en el tiempo y que toma la transformación de Laplace:
$$ Y (s) = \ frac {U (s)} {s} - \ frac {U (s) e ^ {- sT}} {s} = \ frac {1-e ^ {- sT}} {s} Nosotros) $$
(que por cierto es la misma función de transferencia que la retención de orden cero)
La respuesta de frecuencia también es una función sinc: wolframalpha
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