Líneas de transmisión y transferencia de potencia

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Estoy tratando de entender la transferencia de potencia en las líneas de transmisión.

Considere una fuente de voltaje con voltaje complejo \ $ V_t \ $ y una impedancia interna \ $ Z_t \ $. Supongamos que lo conectamos a una línea de transmisión con impedancia compleja \ $ Z_0 = \ sqrt {\ frac {R + j \ omega L} {G + j \ omega C}} \ $, donde \ $ R \ $ y \ $ L \ $ son la resistencia en serie y la inductancia por unidad de longitud y \ $ G \ $ y \ $ C \ $ son la condutancia de derivación y la capacitancia por unidad de longitud, respectivamente. Tenga en cuenta que no asumimos que \ $ Z_0 \ $ es puramente real, ya que incluimos posibles pérdidas en la línea. En el otro extremo, a la distancia \ $ d \ $, conectamos una carga con impedancia \ $ Z_L \ $. Nuestro objetivo es maximizar la potencia activa generada en la carga.

1) Por un lado, sé que tomar \ $ Z_L = Z_0 \ $ hace que el coeficiente de reflexión \ $ \ rho = \ frac {Z_L-Z_0} {Z_L + Z_0} \ $ sea igual a cero y la transmisión coeficiente \ $ \ tau = \ frac {2Z_L} {Z_L + Z_0} \ $ maximal, \ $ \ tau = 2 \ $.

2) Por otra parte, por transformación de impedancia, la impedancia vista por la fuente de voltaje en los terminales de la transmisión viene dada por \ $ Z_ {en} = Z_0 \ frac {Z_L + Z_0 \ tanh (\ gamma d)} {Z_0 + Z_L \ tanh (\ gamma d)} \ $. Aquí \ $ \ gamma = \ sqrt {(R + j \ omega L) (G + j \ omega C)} \ $. Uno podría entonces pensar que deberíamos tomar \ $ Z_ {in} = Z_t ^ * \ $ (conjugado), como lo hacemos normalmente para la máxima transferencia de potencia.

¿Cuál de estos es correcto? En un conjunto de notas de clase que estoy usando, aparecen para reclamar ambos (?). Por un lado, afirman en el texto que 1) es correcto, ya que minimiza los reflejos. Por otro lado, en un ejercicio, afirman que 2) es correcto.

Por cierto, ¿hay alguna forma de componer fórmulas matemáticas aquí?

EDIT Respecto al comentario de Janka:

El voltaje es \ $ V (d) = A_0 ^ + e ^ {- \ gamma d} + A_0 ^ -e ^ {\ gamma d} \ $.

La corriente es \ $ I (d) = \ frac {1} {Z_0} (A_0 ^ + e ^ {- \ gamma d} -A_0 ^ -e ^ {\ gamma d}) \ $

Aquí \ $ A_0 ^ + \ $ y \ $ A_0 ^ - \ $ denotan la amplitud de la onda hacia adelante y hacia atrás, respectivamente.

Debemos tener \ $ Z_L = V (d) / I (d) \ $. Luego encontramos \ $ A_0 ^ - = \ frac {Z_L-Z_0} {Z_L + Z_0} A_0 ^ + e ^ {- 2 \ gamma d} \ $. Si \ $ Z_L = Z_0 \ $, obtenemos \ $ A_0 ^ - = 0 \ $.

    
pregunta Étienne Bézout

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Respuesta corta

El teorema de transferencia de potencia máxima le indica cómo maximizar la potencia entregada a la carga dada una impedancia de origen. En su escenario, la carga sería una línea de transmisión + \ $ Z_L = Z_ {in} \ $ que puede ser igual \ $ Z_t ^ * \ $ independientemente del valor de \ $ \ tau \ $. pero para minimizar la potencia disipada por la línea de transmisión con pérdida (o maximizar la disipada por la carga), también tiene que igualar estas impedancias para no obtener una onda reflejada.

Respuesta larga

Primero déjeme considerar el caso de la línea de transmisión sin pérdidas. esto es $$ real \ Z_0,  \ quad Z_ {en} = \ frac {Z_L + Z_0 j tan (\ beta d)} {Z_0 + Z_L j tan (\ beta d)} $$ Como la línea no tiene pérdidas, toda la potencia que ingresa será disipada por la carga al final, por lo que para maximizar esta potencia que ingresa a la línea de transmisión, utilizamos el teorema de transferencia de potencia máxima, que establece que, dada una la impedancia de una fuente de voltaje, para maximizar la transferencia de potencia, la impedancia vista por el sistema (fuente de voltaje + impedancia interna) debe ser igual a la impedancia interna de la fuente, esto significa $$ Z_ {in} = Z_t $$ Dada una carga \ $ Z_L \ $ hay dos escenarios en los que se logra esto:

  1. Encontrar una combinación de Z_0 y \ $ d \ $ que termina con \ $ Z_in = Z_t \ $ en el otro lado de la línea de transmisión (un ejemplo de esto sería el transformador de impedancia de cuarto de onda)
  2. elegir \ $ Z_0 = Z_L = Z_t \ $

Ambos garantizarán la máxima transferencia de potencia para una línea de transmisión sin pérdidas. tenga en cuenta que en el primer caso, no obtendrá \ $ \ tau = 1 \ $, habrá una reflexión en la interfaz de línea / carga.

Dicho esto, ahora podemos abordar el problema de una línea de transmisión con pérdida como la que usted describió. El problema sigue siendo esencialmente el mismo, la única forma de extraer la potencia máxima de la fuente es obtener \ $ Z_ {in} = Z_t ^ * \ $ como antes, por lo que ambos escenarios parecen ser los mismos. Sin embargo, ahora no es cierto que toda esta potencia se disipe por completo de la carga, hay que tener en cuenta las pérdidas de la línea de transmisión. Para minimizar estas pérdidas, debes eliminar la onda reflejada. Entonces, el segundo escenario sería óptimo $$ Z_0 = Z_L = Z_t ^ * $$.

    
respondido por el diegobatt

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