Primero, debe tener en cuenta que el tratamiento de la teoría de circuitos en The Art of Electronics es muy breve. Un libro de texto de análisis de circuitos real cubriría las constantes de tiempo con mucho más detalle y proporcionaría más ejemplos.
Su circuito parece ser la Figura 1.31 de la sección 1.13. Dejó el interruptor y las condiciones iniciales, y etiquetó incorrectamente la fuente de voltaje. La batería es \ $ V_i \ $, no \ $ V_1 \ $. Aquí hay una versión corregida:
simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab
Se implica (pero no se indica) que el condensador se descarga en t = 0, por lo que V comienza a cero voltios. Con el interruptor abierto, no hay una ruta de CC de V a tierra, por lo que tenemos que hacer una suposición como esta.
Una vez que se cierra el interruptor, la corriente puede comenzar a fluir. La forma matemática de abordar esto es escribir una ecuación usando la Ley de Corriente de Kirchhoff (KCL). Debido al capacitor, esta será una ecuación diferencial de primer orden:
$$ actual \ out \ de \ V_i = actual \ en \ C $$
$$ \ frac {V_i - V} {R} = C \ frac {dV} {dt} $$
(Una ecuación diferencial es una ecuación que implica una tasa de cambio. Aquí, \ $ \ frac {dV} {dt} \ $ es la tasa de cambio de V con respecto al tiempo). Luego puede resolver esto para obtener una ecuación de la forma:
$$ V = V_i + Ae ^ {- t / RC} $$
donde e es la base del logaritmo natural (~ 2.718) y A es una constante desconocida. Puedes resolver la constante usando tu condición inicial de \ $ V_ {t = 0} = 0 \ $.
Una forma alternativa de verlo es decir que un condensador actúa como un circuito abierto en CC, y como un cortocircuito cuando los voltajes en el circuito cambian rápidamente. En el momento en que cerramos el interruptor, tenemos un cambio rápido: \ $ V_i \ $ se aplica repentinamente a la vez. El condensador actúa como un cortocircuito a tierra, por lo que la corriente es \ $ V_i / R \ $. Después de un largo tiempo, el voltaje se ha estabilizado y efectivamente tenemos un circuito de CC. El condensador actúa como un circuito abierto, por lo que \ $ V = V_i \ $ y no hay flujos de corriente.
La transición entre estos dos estados en un decaimiento exponencial. Esto significa que la ecuación para V tendrá un término como \ $ e ^ {- t / \ tau} \ $, donde \ $ \ tau \ $ (tau), llamada "constante de tiempo", determina la tasa de decaimiento. En t = 0, este término exponencial es igual a 1. Como t - > infinito, el término exponencial decae a 0. Podemos usar esto para obtener una ecuación para V:
$$ V = (condición \ final) - (diferencia \ entre \ final \ y \ inicial \ condiciones) * (exponencial \ término) $$
En t = 0, cuando el término exponencial es igual a 1, esto nos da:
$$ V = (condición \ final) - (diferencia \ entre \ final \ y \ inicial \ condiciones) = (condición \ inicial) $$
En t = infinito, cuando el término exponencial es igual a 0, nos da:
$$ V = (condición \ final) - 0 = (condición \ final) $$
En este circuito, nuestra condición inicial es \ $ V = 0 \ $. Nuestra condición final es \ $ V = V_i \ $. La diferencia entre ellos es \ $ V_i - 0 = V_i \ $. Normalmente tendríamos que resolver la ecuación diferencial para obtener la constante de tiempo \ $ \ tau \ $, pero lo que el libro nos dice es que para un circuito R-C, \ $ \ tau = RC \ $. Ahora podemos escribir la ecuación final:
$$ V = V_i - V_ie ^ {- t / RC} $$
Cuando la condición inicial es cero (como está aquí), podemos escribir la ecuación como:
$$ V = (condición \ final) * (1 - (término / exponencial)) $$
que da:
$$ V = V_i (1 - e ^ {- t / RC}) $$
Y eso es exactamente lo que está en el libro.
