Resolviendo la ecuación diferencial de segundo orden para un circuito RLC usando la transformada de Laplace

Lo intentaré:

deje \ $ D = \ frac {R} {2L} \ $ y \ $ \ omega ^ 2 = \ frac {1} {LC} \ $

para \ $ D ^ 2 \ not = \ omega ^ 2 \ $:

$$ I (s) = \ frac {E} {s ^ 2 + 2Ds + \ omega ^ 2} = $$

$$ = \ frac {E} {\ left (s + \ left (-D + \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2} \ right) \ right) \ left (s + \ left (-D- \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2} \ right) \ right)} = $$ (fracción parcial) $$ = \ frac {E} {- 2 \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2}} \ frac {1} {\ left (s + \ left (-D + \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2 } \ derecha) \ derecha)} + \ frac {E} {- 2 \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2}} \ frac {1} {\ left (s + \ left (-D- \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2} \ derecha) \ derecha)} $$

Buscando la transformada de Laplace $$ \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left [\ frac {1} {s + a} \ right] = e ^ {- at} $$

$$ \ mathcal {L} ^ {- 1} [I (s)] = \ frac {E} {- 2 \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2}} \ left (e ^ {t \ left (-D + \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2} \ right)} - e ^ {t \ left (-D- \ sqrt {D ^ 2 - \ omega ^ 2} \ right)} \ right ) $$

para \ $ D ^ 2 = \ omega ^ 2 \ $:

$$ I (s) = \ frac {E} {s ^ 2 + 2Ds + D ^ 2} = \ frac {E} {(s + D) ^ 2} $$

Buscando la transformada de Laplace $$ \ mathcal {L} ^ {- 1} \ left [\ frac {1} {(s + a) ^ {n + 1}} \ right] = \ frac {t ^ n} {n!} e ^ {-at} $$

$$ \ mathcal {L} ^ {- 1} [I (s)] = E \ cdot t \ cdot e ^ {- D t} $$

Masajéelo en una forma que parezca algo en esta tabla . Debería crear algo como seno o coseno cuya frecuencia dependa de L y C, y se multiplique por una función de amortiguación que se parece a un exponencial en descomposición que depende de R, L y C de forma intuitiva.

Tiene una función de segundo orden en el denominador, que se puede resolver para dar dos factores en la forma \ $ (s-a) (s-b) \ $. Este es el equivalente de

$$ {1 \ over (s-a)} \ cdot {1 \ over (s-b)} $$

Esta es una multiplicación de dos funciones, que, tanto para la transformada de Laplace como para la transformada de Fourier, da una convolución de funciones cuando es anti-transformada. Así que puedes obtener la convolución de dos funciones en el dominio del tiempo, y puedes manipular eso para obtener una función más agradable.

  

¿Debo usar fracciones parciales con factores cuadráticos o hay un método más fácil para adentrarme en esto?

Ese es el camino a seguir, si tiene que usar la transformada de Laplace. (Si no tiene que usar la transformada de Laplace, busque la respuesta. :-)

$$ ax ^ 2 + bx = a \ left [(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 - (\ frac {b} {2a}) \ right] $$ para que podamos escribir: $$ s ^ 2 + \ frac {R} {L} s = (s + \ frac {R} {2L}) ^ 2 - (\ frac {R} {2L}) ^ 2 $$ $$ I (s) = \ frac {E} {s ^ 2 + \ frac {R} {L} s + \ frac {1} {LC}} = \ frac {E} {(s + \ frac {R} { 2L}) ^ 2 + \ frac {1} {LC} - (\ frac {R} {2L}) ^ 2} $$ sabemos: $$ \ mathcal {L} \ left [e ^ {- at} sin (wt) \ right] = \ frac {w} {(s + a) ^ 2 + w ^ 2} $$ entonces tenemos : $$ i (t) = \ frac {E} {\ sqrt {\ frac {1} {LC} - (\ frac {R} {2L}) ^ 2}} e ^ {\ frac {-R} {2L } t}. sin (\ sqrt {\ frac {1} {LC} - (\ frac {R} {2L}) ^ 2} \ space.t) $$