¿Por qué el diseñador usó este motor?

Yo diría que esto fue puramente para reducir el costo. Con un motor de CA, el dispositivo puede usar un transformador para reducir el voltaje (probablemente una verruga de pared barata), pero omitir tener un puente rectificador para convertirlo a CC. Además, los motores de engranajes de CA son más baratos:

  

Los motores de CA generalmente son más pequeños, menos costosos, más livianos y más resistentes que los motores de CC. Por otro lado, los motores de CC generalmente se consideran mejores para operaciones de velocidad variable.

( De Sinotech.com )

Dado que este dispositivo no requiere velocidad variable, la elección del motor de engranaje de CA parece obvia.

Debe haber sido menos costoso proporcionar un clip de batería para los LED que unos pocos diodos para la conversión de CC. (O tal vez la iluminación fue una ocurrencia tardía).

En cuanto a por qué el motor no es de CC y funciona con baterías, supongo que esto es algo que dejarías en marcha durante un tiempo, y que las pequeñas (¿probablemente las células AA?) no harán funcionar un motor de forma continua durante mucho tiempo.

Sin algo que cierre un circuito de control, un motor de CC funcionaría a una velocidad variable durante la vida útil de las baterías, de demasiado rápido a demasiado lento para nada. Pero el motor de CA síncrono funciona a la velocidad deseada (el módulo se está moviendo entre países de 60Hz y 50Hz) porque es funcionalmente muy similar a un motor paso a paso controlado por, y bloqueado a, la frecuencia de la línea de AC.

¿No me sorprendería si las baterías estuvieran en la parte giratoria? Si es así, se ahorra la necesidad de anillos de deslizamiento o acoplamiento inductivo.

Los motores consumen mucha potencia. Sus baterías pueden hacer funcionar los LED durante mucho tiempo para la cantidad de energía que consume un motor pequeño en unos pocos minutos. Los motores de CA son mucho más confiables que los motores de CC porque los motores de CC requieren cepillos y conmutadores para transferir la potencia a la armadura de giro.
Se puede hacer que los motores de CA se vuelvan bloqueados a una fracción fija baja de la frecuencia de la línea de alimentación. La baja velocidad del motor se traduce en menos giros de los rodamientos y, por lo tanto, una vida útil más larga.
Los motores de CA son más baratos que los motores de CC para velocidades lentas. Dichos motores síncronos están disponibles a bajo costo como unidades de reloj con reductores de engranajes conectados. Las cajas de engranajes de reducción en los motores de CC son productos personalizados para nichos de mercado y son muy costosos.