Voy a arriesgarme y asumiré que cuando conectaste la base del transistor a la fuente de alimentación de 1.5 V, realmente lo enchufaste en el motor. Esto explicaría por qué el comportamiento fue como lo describiste.
Suponiendo que su implementación del circuito fue correcta y que el transistor no está al revés (me recibe todo el tiempo; vale la pena realizar una doble comprobación), el problema con este circuito es casi con seguridad el voltaje de su fuente de alimentación. El transistor cortará aproximadamente 0.6V en la base a la unión del emisor, y probablemente más cerca de 0.8V entre el colector y el emisor, dependiendo de cuán saturado esté. 5V a 1K dará 5 mA, que con una h fe de aproximadamente 100 (bastante estándar) dará un máximo de 500 mA de corriente a través del colector.
Esto debería ser suficiente para un motor de juguete pequeño, pero no obtendrá 500 mA a través de un motor con una fuente de alimentación de 1.5V-0.8V = 0.7V, especialmente si es solo una batería o dos. Al igual que los márgenes sugeridos en los comentarios, debería estar considerando una fuente de alimentación más parecida a su diagrama, 9V. 5V sería un mínimo, diría yo, o tal vez 3V.
La resistencia de 1K es importante, no porque protege a su Arduino de la retroalimentación (aunque también hay eso), sino porque evita que provoque un cortocircuito de 5V a través del transistor, lo que podría quemar una cosa u otra (aunque la corriente suministrado por un Arduino es limitado, creo que menos de 100 mA). Definitivamente deberías usarlo siempre .
Finalmente, dependiendo de cómo alimente el Arduino, podría compartir su fuente de alimentación con el motor. Si lo está alimentando desde el conector cilíndrico, estoy 80% seguro de que puede conectarse directamente a esa fuente de alimentación utilizando el zócalo V in que está al lado de 5V y 3.3V y todos ellos (Estoy imaginando un Uno). Esta línea no pasará por ninguna regulación (de nuevo, el 80% es seguro), por lo que no tendrá que preocuparse por una sobrecarga de los componentes de Arduino. A la inversa, puede obtener una fuente de alimentación decente y alimentar el motor y con Arduino haciendo lo contrario, y conectando el V en del Arduino a la tensión de la fuente como si fuera destinado a ser ...
Buena suerte; Espero que ayude.