No estoy seguro de por qué se deben mover los polos en la herramienta de MATLAB.
¿Qué significa hacerlo?
No estoy seguro de por qué se deben mover los polos en la herramienta de MATLAB.
¿Qué significa hacerlo?
A modo de ilustración simple, supongamos que tiene un sistema que es, esencialmente, un integrador y necesita cerrar el bucle que lo rodea para establecer algún tipo de control de retroalimentación.
El OLTF es: $$ \ small G (s) = \ frac {1} {s} $$
Hay un polo en \ $ \ small s = 0 \ $, y si se aplicara un paso, la respuesta sería una rampa \ $ (\ frac {1} {s ^ 2}) \ $.
El CLTF es: $$ \ small \ frac {G (s)} {1 + G (s)} = \ frac {1} {1 + s} $$
Que tiene una vara en \ $ \ small s = -1 \ $.
La respuesta de paso del bucle cerrado es \ $ \ small (1-e ^ {- t}) \ $, por lo que es exponencial con una constante de tiempo, \ $ \ small \ tau = 1 \: sec \ $. Observe que el polo se ha movido de \ $ \ small s = 0 \ $ a \ $ \ small s = -1 \ $ cerrando el bucle (... y la rampa se ha convertido en un exponencial estable).
Ahora, supongamos que la respuesta es demasiado lenta. ¿Qué hacer? Bueno, intentemos agregar una ganancia, \ $ \ small K > 1 \ $ al bucle abierto.
El OLTF ahora es: $$ \ small KG (s) = \ frac {K} {s} $$
y la CLTF es: $$ \ small \ frac {KG (s)} {1 + KG (s)} = \ frac {K} {K + s} $$.
El polo se ha movido a \ $ \ small s = -K \ $, más allá del origen, y la respuesta al escalón ahora es más rápida: $$ \ small (1-e ^ {- Kt}) = (1- e ^ {- t / \ tau}) $$
donde \ $ \ small \ tau = 1 / K \ $.
Podemos hacer que la respuesta del sistema sea tan rápida (o lenta) como deseemos al aumentar (o disminuir) \ $ \ small K \ $. Pero, por supuesto, siempre hay limitaciones prácticas: la potencia disponible del amplificador que proporciona la ganancia, \ $ \ small K \ $, por ejemplo, colocará un límite inferior en \ $ \ tau \ $.
Así que podemos concluir que alejar el polo del origen hace que el sistema sea más rápido; mover el polo más cerca del origen ralentiza las cosas.
El lugar de la raíz se encuentra realmente resolviendo la ecuación característica, que es: $$ \ small 1 + KG (s) = 0 $$ a medida que \ $ \ small K \ $ va desde \ $ \ small 0 \ rightarrow \ infty \ $
Como un ejemplo más complicado, toma:
$$ \ small KG (s) = \ frac {K} {s (1 + s)} $$
dando la ecuación característica:
$$ \ small 1 + KG (s) = 1 + \ frac {K} {s (1 + s)} = 0 $$
o
$$ \ small s ^ 2 + s + K = 0 $$
Cuando \ $ \ small K = 0 \ $, el locus comienza en: \ $ \ small s (s + 1) = 0 \ $, es decir, en: \ $ \ small s = 0 \ $ y \ $ \ pequeño s = -1 \ $; los loci comienzan en los polos de bucle abierto . En este caso, hay dos polos de bucle abierto, por lo que el locus tiene dos ramas.
A medida que \ $ \ small K \ $ aumenta de cero, las raíces vienen dadas por:
$$ \ small s = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1-4K}} {2} $$
Por lo tanto, si \ $ \ small K \ le 0.25 \ $ las raíces serán reales (y migrarán unas hacia otras a lo largo del eje real), pero para \ $ \ small K > 0.25 \ $ las raíces son complejas y los loci migran a las regiones complejas del plano s.
Raíces complejas significa que la respuesta al escalón es oscilatoria.
Las reglas generales para interpretar las posiciones de los polos en el lugar de la raíz son:
Por lo tanto, si podemos expresar el tipo de respuesta que queremos, especificando los polos en el plano s, entonces podemos determinar el valor de ganancia que nos dará esas ubicaciones de polos.
Como es de esperar, hay mucho más que eso ... ¡para el resto de la historia, lee el libro!
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