En este circuito dado, ¿cómo podemos encontrar \ $ Vc (t) \ $ que es el voltaje en el condensador?
\ $ u (t) \ $ es el paso que es 0 cuando \ $ t < 0 \ $ y 1 cuando \ $ t > 0 $.
Quiero encontrar \ $ Vc (t) \ $ por ecuación diferencial de segundo orden. Por favor ayuda !!!
Mi enfoque
Escribí KVL en un bucle más grande,
$$ V_s = L \ cdot \ dfrac {\ text {d} i_L} {\ text {d} t} + R_1 \ cdot i_L + V_c $$
y KCL en el nodo superior,
$$ i_L = \ dfrac {V_c} {R_2} + C \ cdot \ dfrac {\ text {d} V_c} {\ text {d} t} $$
utilizando \ $ i_L \ $ de KCL en KVL, encontré la ecuación
$$ V_s = L \ cdot C \ cdot V_c '' + \ left (\ dfrac {L} {R_2} + R_1 \ cdot C \ right) \ cdot V_c '+ \ left (1 + \ dfrac {R_1 } {R_2} \ derecha) \ cdot V_c $$
resolviendo esta ecuación,
$$ V_c = \ dfrac {R_2} {R_1 + R_2} + A \ cdot e ^ {r \ cdot t} + B \ cdot e ^ {s \ cdot t} $$
donde A, B son constantes,
$$ a ^ 2-b > 0 \\ r = \ dfrac {-a + \ sqrt {a ^ 2 - 4 \ cdot b}} {2 \ cdot a} \\ s = \ dfrac {-a- \ sqrt {a ^ 2 - 4 \ cdot b}} {2 \ cdot a} \\ a = \ dfrac {\ dfrac {L} {R_2} + R_1 \ cdot C} {L \ cdot C} \\ b = \ dfrac {1+ \ dfrac {R_1} {R_2}} {L \ cdot C} $$
Pero esto no coincide con el circuito de muestra de mi profesor, ¿qué pasa?