Dado un circuito RC de serie simple donde la salida se mide a través de la resistencia (es decir, un filtro de paso alto), ¿cómo se derivaría una respuesta general de entrada cero para el sistema?
Puedo hacerlo para un filtro de paso bajo (salida medida a través del condensador), ¡pero me parece que ambas respuestas serán las mismas!
No me importa la ayuda con la solución en el dominio de tiempo, sin embargo, tengo una preferencia hacia el dominio de frecuencia compleja personalmente.
¡Gracias!
En primer lugar, la respuesta de entrada cero no tiene sentido porque, después de todo, el circuito debe funcionar en la entrada, en nuestro caso, filtre según el lugar donde tomamos la salida.
La respuesta de entrada cero es simplemente la respuesta natural del circuito que se obtiene como una ecuación diferencial utilizando KVL, es decir,
RC dV / dt + V = 0 o R di / dt + i / C = 0
donde V es el voltaje máximo ei es la corriente en el bucle cuando no hay entrada.
Ahora, r recuerda que la respuesta natural del sistema no tiene nada que ver con el lugar donde tomas la salida porque no hay entrada .
Para un filtro de paso alto del que está hablando, el condensador viene en serie con la entrada.
La impedancia capacitiva en el dominio de la frecuencia se da como 1 / jwC donde 'w' es la frecuencia angular de la entrada.
Puedes considerarlo como un simple divisor de impedancia con la siguiente relación:
Vout / Vin = R / (R + 1 / jwC) = jwC / (R + jwC)
En frecuencias muy altas, Vout / Vin = jwC / jwC = 1 (aprox.) porque el condensador proporciona una ruta de baja impedancia para la entrada.
Sin embargo, a bajas frecuencias, el condensador en serie proporciona una ruta de alta impedancia y la función de transferencia es:
Vout / Vin = jwC / R (aprox)
donde podemos ver claramente que este sistema está atenuando la entrada.
Una forma de resolver ese problema es usar la transformada de Laplace (unilateral), que permite tener en cuenta las condiciones iniciales. Para un circuito RC de paso alto tienes
$$ U_1 (s) = U_C (s) + U_2 (s) \ tag {1} $$
con \ $ U_1 (s) \ $ el voltaje de entrada, \ $ U_2 (s) \ $ el voltaje de salida, y \ $ U_C (s) \ $ el voltaje a través del capacitor. Si \ $ u_C (0) \ $ es el voltaje inicial en el capacitor, la corriente a través del capacitor es
$$ I (s) = C (sU_C (s) -u_C (0)) \ tag {2} $$
Con \ $ (2) \ $ y \ $ I (s) = U_2 (s) / R \ $ puede expresar \ $ U_C (s) \ $ en términos de \ $ U_2 (s) \ $:
$$ U_C (s) = \ frac {U_2 (s)} {sRC} + \ frac {u_C (0)} {s} \ tag {3} $$
Para la respuesta de entrada cero, establecimos \ $ U_1 (s) = 0 \ $ y obtenemos de \ $ (1) \ $ y \ $ (3) \ $
$$ U_2 (s) = - U_C (s) = - \ frac {U_2 (s)} {sRC} - \ frac {u_C (0)} {s} \ tag {4} $$
que da
$$ U_2 (s) = - \ frac {u_C (0)} {s} \ frac {sRC} {1 + sRC} = - \ frac {u_C (0) \ tau} {1+ \ tau s } \ tag {5} $$
con \ $ \ tau = RC \ $. En el dominio de tiempo, \ $ (5) \ $ corresponde a
$$ u_2 (t) = - u_C (0) e ^ {- t / \ tau} \ tag {6} $$
Esta respuesta de entrada cero \ $ (6) \ $ es de hecho idéntica a la de un filtro de paso bajo RC (tal vez aparte del signo, dependiendo de la definición de \ $ u_c (t) \ $), pero esto no es una sorpresa porque si cortocircuitas la entrada, ambos circuitos se vuelven equivalentes.
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