Capacitancia entre la Tierra y la Luna

La capacitancia entre dos placas varía según:

$$ C = \ frac {eA} {d} $$

donde \ $ d \ $ es la distancia entre las placas, \ $ A \ $ es el área de las placas y \ $ e \ $ es la constante de Coulomb. $$ e = 8.9 \ veces 10 ^ {- 12} $$ Distancia de la tierra a la luna: $$ d = 4 \ veces 10 ^ 8 \ texto {metro} $$ Superficie de tierra equivalente aproximada: $$ A = (1.28 \ veces 10 ^ 4) ^ 2 $$ Por lo tanto, $$ C = \ frac {8.9 \ veces 10 ^ {- 12} \ veces 1.64 \ veces 10 ^ 8} {4 \ veces 10 ^ 8} = 2.39 \ veces 10 ^ {- 11} = 10 \ texto { pF} $$

Los números se truncaron al más cercano al tercer lugar.

Recuerdo que, en una de sus columnas en "Diseño electrónico", el difunto Bob Pease ha mostrado cómo calcular esta capacitancia. Ahora mismo he encontrado un addendum a la contribución original: aquí viene

Cita R.A.Por favor :

  

Recibí muchas respuestas después de formular la pregunta: "¿Cuál es la capacidad real de la Tierra a la Luna?" Hubo algunos impares a 0.8µF o 12µF. Pero unos 10 muchachos dijeron que era 143 o 144µF. Usaron la fórmula:

     

$$ C = 4x (\ frac {l} {r_1} + \ frac {1} {r_2} - \ frac {2} {D}) - l $$

     

válido para \ $ r_l, r_2 < < D \ $.

     

AHORA, mi estimación original de 120µF se basó en esta aproximación: la capacitancia de la Tierra a una esfera metálica (imaginaria) que la rodea, a 190,000 millas de distancia, sería de 731µF. (Si la esfera circundante fuera empujada a 1,900,000 millas de distancia, la capacitancia solo cambiaría a 717µF, solo un par de puntos menos. Si la "esfera" se moviera al infinito, la C solo disminuiría a 716µF.) Del mismo modo, la C de la luna a una esfera circundante a 48,000 millas de distancia sería 182.8µF. Si las dos esferas estuvieran en cortocircuito, la capacitancia sería de 146.2µF. Supuse que si las esferas se iban, la capacitancia se reduciría quizás en un 20% a aproximadamente 120µF, así que di eso como mi estimación. Pero eliminar esas "esferas circundantes" conceptuales probablemente solo causaría una disminución del 2% de la capacitancia. Eso lo pondría en estrecho acuerdo con los 10 individuos que enviaron la cifra de 143µF.

     

Pero THEN 6 lectores escribieron en TARDE, de Europa, todos con respuestas de 3µF. Revisé sus fórmulas, de libros similares, en varios idiomas diferentes. Eran todos de la forma:

     

$$ C = \ frac {4 \ pi \ times \ epsilon \ times (r1 \ times r2)} {D} $$

     

multiplicado por un factor de corrección muy cercano a 1.0. Si crees en esta fórmula, creerás que la capacitancia se reduciría en un factor de 10 si la distancia D entre la Tierra y la Luna aumentara en un factor de 10. ¡No es así! Cualquiera que use una fórmula como esa, para llegar a 3µF, debe MARCAR esa fórmula con una gran X.

     

Finalmente, un chico envió una respuesta de 159µF. ¿Por qué? Porque ingresó el radio correcto para la luna, 1080 millas en lugar de 1000. ¡Esa es la mejor respuesta correcta! / RAP

Publicado originalmente en Electronic Design, 3 de septiembre de 1996.

Creo que las respuestas son

1) Editar: ver otra respuesta sobre Bob Pease

2) No hay una razón teórica por la que no, pero hay una serie de razones prácticas:

• Requiere una cantidad colosal de carga. Wikipedia afirma que el voltaje de ruptura del vacío es de 20 MV / metro. La luna está a 384,400,000 metros de la tierra. Eso coloca el voltaje mínimo en 7,688,000,000,000,000 voltios.

• ¿De dónde vendrá este cargo?

• El "viento solar" contiene un flujo constante de partículas cargadas que se mueven a la velocidad. Al entrar en la atmósfera de la Tierra esto se traduce en la aurora boreal. Al encontrarse con un planeta con una carga no neutral muy grande, tenderá a atraer cargas opuestas y repeler las cargas similares, reduciendo gradualmente la carga neta a cero.

Es sencillo calcular la capacitancia de cualquiera de los dos conductores. Coloque cantidades iguales y opuestas de carga en cada conductor y luego calcule el voltaje entre ellos. Por definición, C = Q / V.

En el caso de la Tierra y la Luna, el cálculo es difícil porque las cargas no se distribuyen sobre esferas perfectas, sino esferoides oblatos. A una aproximación razonable, aunque podemos suponer que son esferas.

Con esta aproximación, la diferencia de potencial eléctrico es aproximadamente (aproximadamente el 0,3%) igual a la diferencia de potencial de cada cuerpo en su propia superficie. Esto es un poco extraño, pero debido a que la Luna está muy lejos, el potencial eléctrico de, digamos, la Tierra en la Luna es muy pequeño en comparación con el potencial eléctrico de la Luna.

La capacitancia mutua es bastante pequeña en comparación con la autocapitancia de la Tierra y la Luna por separado. La autocapitancia de la Tierra es de aproximadamente 709 microFaradios y la de la Luna es de aproximadamente 193 microfaradios. La capacitancia efectiva del par es 1/709 + 1/193 = 1 / Ceq, entonces Ceq = 152 microfaradios. De nuevo, es extraño que la capacitancia entre la Tierra y la Luna no dependa del radio orbital de la Luna, pero esa es la respuesta.

Para hacer este problema, exactamente requiere que integres el campo eléctrico entre la Tierra y la Luna sobre cualquier camino entre ellos, luego divides este voltaje en la carga que usaste para crear el campo. Esto mostrará una pequeña dependencia de la separación. Como último comentario, este es un buen problema ya que muestra que los propios conductores mantienen la carga y almacenan la energía en sus respectivos campos eléctricos. La capacitancia debe dar cuenta de toda esta energía.

Normalmente, la capacidad mutua domina como en un condensador de placa paralela con un pequeño espacio entre las placas. Pero la capacitancia de un capacitor de placa paralela, donde la relación entre placas y tamaños es muy pequeña, ¡es solo la suma de la capacitancia de cada placa aislada!