Partimosdela
$$ \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} = \ mu \ mathbf {J} + \ overbrace {\ mu \ epsilon \ dfrac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} ^ 0. $$
Tomamos integración de la superficie de ambos lados, para la superficie (\ $ s \ $) dentro de la ruta media (\ $ c \ $) del núcleo.
$$ \ int_s \ left (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot d \ mathbf {s} = \ mu \ int_s \ mathbf {J} \ cdot d \ mathbf {s} $$
Usamos el Teorema de Stroke para volver a escribir el lado izquierdo; donde \ $ c \ $ está en la misma dirección con el flujo magnético \ $ \ Phi \ $.
$$ \ oint_c \ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf {\ ell} = \ mu N I $$
(La integral en el lado izquierdo da como resultado \ $ NI \ $, porque hay \ $ N \ $ diferentes cables en el devanado.)
La densidad del campo magnético dentro de este tipo de núcleos se considera uniforme. Por lo tanto, podemos escribir
$$ B \ ell_c \ overset \ sim = \ mu NI \ implica B = \ dfrac {\ mu NI} {\ ell_c}; $$
donde \ $ \ ell_c \ $ es la longitud media de la ruta del núcleo.
Podemos encontrar el flujo magnético a partir de la densidad del flujo magnético que hemos encontrado al usar el área de sección transversal del núcleo \ $ A_c \ $.
$$ \ Phi = BA_c = \ dfrac {\ mu NIA_c} {\ ell_c} $$
Por definición, la inductancia es la cantidad de flujo magnético generado por corriente aplicada, es decir,
$$ L \ overset \ triangle = \ dfrac {\ Phi} {I}. $$
Por lo tanto, encontramos la inductancia del sistema como
$$ \ boxed {L = \ dfrac {\ Phi} {I} = \ dfrac {\ dfrac {\ mu NIA_c} {\ ell_c}} {I} = \ dfrac {\ mu NA_c} {\ ell_c}}. $$
Pero, todas las demás fuentes ( ejemplo ) dan inductancia de un inductor como este como
$$ L = \ dfrac {\ mu N ^ 2A_c} {\ ell_c}. $$
¿Cuál es el error que cometí en mi derivación? Por favor explique en detalle.
