Puedes calcular la solución explícitamente.
Sea \ $ v \ $ la tensión de salida y \ $ u \ $ la entrada. La ODE que describe \ $ v \ $ es \ $ \ dot {v} = - {1 \ sobre RC} v + {1 \ sobre RC} u \ $, con condición inicial \ $ v (0) \ $. La solución es \ $ v (t) = v_0 e ^ {- {1 \ sobre RC} t} + {1 \ sobre RC} \ int_0 ^ te ^ {- {1 \ sobre RC} (t- \ tau)} u (\ tau) d \ tau \ $. Esto funciona para cualquier entrada \ $ u \ $.
Suponga que la entrada \ $ u \ $ es \ $ T \ $ - periódica, y considere el circuito en los horarios \ $ 0, T, 2T, ... \ $. Deje que \ $ v_n = v (nT) \ $.
Tenemos \ $ v_ {n + 1} = e ^ {- {1 \ sobre RC} T} v_n + {1 \ sobre RC} \ int_ {nT} ^ {(n + 1) T} e ^ {- {1 \ sobre RC} ((n + 1) T - \ tau)} u (\ tau) d \ tau \ $, y un cambio de variable muestra que \ $ \ int_ {nT} ^ {(n + 1) T} e ^ {- {1 \ sobre RC} ((n + 1) T - \ tau)} u (\ tau) d \ tau \ $ es independiente de \ $ n \ $, así que si permitimos que \ $ \ sigma = {1 \ sobre RC} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- {1 \ sobre RC} (T - \ tau)} u (\ tau) d \ tau \ $, obtenemos el ecuación
\ $ v_ {n + 1} = e ^ {- {1 \ over RC} T} v_n + \ sigma \ $, que converge al estado estacionario \ $ \ hat {v} = {\ sigma \ over 1 - e ^ {- {1 \ sobre RC} T}} \ $.
En particular, si comenzamos en el estado estacionario, es decir, \ $ v_0 = \ hat {v} \ $, entonces la salida será periódica con el período \ $ T \ $ (es decir, sin transitorios).
De aquí en adelante, asumo que \ $ v \ $ representa esta solución de estado estable.
Tenga en cuenta que \ $ v \ $ es periódico, no constante, por lo que no estoy seguro de lo que quiere decir con
'después de ... valor para estabilizar'.
Si desea calcular la salida promedio (DC) de la solución de estado estable
puede calcular \ $ {1 \ sobre T} \ int_0 ^ T v (\ tau) d \ tau \ $ (doloroso), o nota
que podemos integrar la ecuación diferencial para obtener
\ $ \ int_0 ^ T \ dot {v} (t) dt = v (T) -v (0) = 0 \ $, y entonces vemos que los valores promedio de la entrada \ $ u \ $ son los mismos que el valor promedio de la salida \ $ v \ $.
Esto no es una sorpresa, ya que la ganancia de voltaje de CC es 1.
Por lo tanto, si desea calcular el valor de CC de la salida, solo será el valor de CC de la entrada.
Si desea calcular la solución de estado estable, seleccione \ $ T \ $ - entrada periódica \ $ u \ $, calcule \ $ \ sigma \ $, luego el estado inicial relevante \ $ \ hat {v} \ $, y luego integre utilizando la solución anterior para obtener la solución periódica de "estado estable".
Nota: el valor de \ $ \ hat {v} \ $ depende de donde \ $ u \ $ 'empiece'.
