¿Es posible que la ganancia de Kalman llegue a ser exactamente 0 o 1? Porque, según tengo entendido, si eso sucediera (no importa si fuera 0 o 1), la ganancia de Kalman se mantendría en 0 en todos los ciclos siguientes.
¿Es posible que la ganancia de Kalman llegue a ser exactamente 0 o 1? Porque, según tengo entendido, si eso sucediera (no importa si fuera 0 o 1), la ganancia de Kalman se mantendría en 0 en todos los ciclos siguientes.
Hay un ruido gaussiano aditivo en el modelo de transición de estado de un filtro de Kalman. Por ejemplo, \ $ \ epsilon_t \ $ en la siguiente ecuación:
\ $ x_t = A_tx_ {t-1} + B_tu_t + \ epsilon_t \ $
\ $ \ epsilon_t \ $ tiene una media de cero y una covarianza (llamémoslo \ $ R_t \ $). El propósito de \ $ \ epsilon_t \ $ es modelar la incertidumbre asociada con el proceso de transición de estado. Sin este término (o más precisamente si \ $ R_t \ $ es un vector de ceros), no tenemos incertidumbre en el proceso de transición de estado. Básicamente, esto significa que hemos encontrado el modelo perfecto que puede predecir el futuro con un 100% de certeza y, por lo tanto, no sería necesario realizar ninguna medición.
Según el modelo anterior, la matriz de covarianza se estimaría de la siguiente manera en la fase de predicción del filtro de Kalman:
\ $ \ overline {\ Sigma} _t = A_t \ Sigma_ {t-1} A_t ^ T + R_t \ $
\ $ \ Sigma \ $ es la matriz de covarianza para la estimación del estado, y la covarianza del estado predicho se denota por \ $ \ overline {\ Sigma} \ $. Como puede ver en la ecuación anterior , la covarianza pronosticada nunca puede ser cero a menos que \ $ R_t \ $ se tome como cero (lo cual no tiene sentido como ya se explicó).
Suponga que los datos de medición se formulan como:
\ $ z_t = C_tx_t + \ delta_t \ $
\ $ cov (\ delta_t) = Q_t \ $
Ahora podemos formular la ganancia de Kalman que sería:
\ $ K_t = \ overline {\ Sigma} _tC_t ^ T (C_t \ overline {\ Sigma} _tC_t ^ T + Q_t) ^ {- 1} \ $
Mirando la ecuación anterior, está claro que no se bloquearía en cero, incluso si la ganancia anterior terminara siendo de alguna manera cero.
El caso de una ganancia de Kalman igual a 1 solo ocurre cuando la medición tiene una incertidumbre de cero (de nuevo, no es realmente posible). Incluso si ese fuera el caso, la ganancia de Kalman solo depende de la covarianza de la medición actual, por lo que no se bloquearía en 1 a menos que la covarianza de la medición apareciera constantemente como cero (lo que no sería un defecto del filtro, pero el sistema de medición).
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