Llevar de sumador completo

En primer lugar, vamos a hacer una observación. Lo siguiente es cierto (si no me crees, lo demostraré más adelante):

\ $ A + B = AB + \ bar AB + A \ bar B \ $

Ahora, según la definición de XOR tenemos:

\ $ A \ oplus B = \ bar AB + A \ bar B \ $

Combinando las dos expresiones que obtenemos:

\ $ A + B = AB + A \ oplus B \ $

Con eso, comencemos:

AB+AC+BC = AB + C(A+B)        // Factor out C
         = AB + C(AB + A⨁B)  // Substitute the above expression
         = AB + CAB + C(A⨁B) // Factor out AB
         = AB + C(A⨁B)       // Invoke the absorption rule to get rid of CAB

Voila, eso es lo que buscábamos. No creo que sea la mejor manera de hacerlo, pero parece que funciona lo suficientemente bien.

Ahora, voy a mostrar \ $ A + B = AB + \ bar AB + A \ bar B \ $ usando una lógica booleana dulce y pura.

\ $ A + B = A (\ bar B + B) + B (\ bar A + A) = AB + \ bar AB + A \ bar B \ $

Llamemos a \ $ C_ {in} = C \ $, porque es más fácil escribir y leer. Quieres mostrar que:

$$ A \ cdot B + A \ cdot C + B \ cdot C = A \ cdot B + \ left (A \ oplus B \ right) \ cdot C $$

Tomemos el lado derecho y veamos cómo va:

$$ \ begin {align *} A \ cdot B & + \ left (A \ oplus B \ right) \ cdot C \\ A \ cdot B & + \ left (A \ cdot \ bar {B} + \ bar {A} \ cdot B \ right) \ cdot C \\ A \ cdot B & + A \ cdot \ bar {B} \ cdot C + \ bar {A} \ cdot B \ cdot C \\ A \ cdot B \ cdot C + A \ cdot B \ cdot \ bar {C} & + A \ cdot \ bar {B} \ cdot C + \ bar {A} \ cdot B \ cdot C \ end {align *} $$

Creo que puedes ver cómo fue esa expansión, hasta ahora. Ahora es el término más a la izquierda lo que es interesante. Se nos permite replicarlo tantas veces como queramos, ya que no cambiará el resultado. Así que las siguientes expresiones son exactamente la misma expresión que la última que se muestra arriba:

$$ A \ cdot B \ cdot C + A \ cdot B \ cdot \ bar {C} + A \ cdot \ bar {B} \ cdot C + \ bar {A} \ cdot B \ cdot C \\ A \ cdot B \ cdot C + A \ cdot B \ cdot C + A \ cdot B \ cdot C + A \ cdot B \ cdot \ bar {C} + A \ cdot \ bar {B} \ cdot C + \ bar {A} \ cdot B \ cdot C \\ \ left (A \ cdot B \ cdot C + A \ cdot B \ cdot \ bar {C} \ right) + \ left (A \ cdot B \ cdot C + A \ cdot \ bar {B} \ cdot C \ right ) + \ left (A \ cdot B \ cdot C + \ bar {A} \ cdot B \ cdot C \ right) \\ \ left (A \ cdot B \ right) + \ left (A \ cdot C \ right) + \ left (B \ cdot C \ right) \\ A \ cdot B + A \ cdot C + B \ cdot C $$

Eso debería ser convincente, espero.