El problema: girar un cubo con una rueda de reacción.
En física, las leyes de conservación son muy útiles, ya que le permite eliminar muchos cálculos confusos y propensos a errores y encontrar lo importante a la vez.
Considere el siguiente diagrama abstracto de un CubeSat y su rueda de reacción (el motor entre ellos no se muestra) (sí, he pensado en la convención de signos de rotación para el diagrama) (longitudes de vectores que no están a escala)
Suponiendoquenohayaparesexternos(secularesodeimantaciónmagnética),entodomomentolasumadesusmomentosangularesseráceroporlaConservacióndelMomentoAngular$$L_{cubesat}+L_{reacción}=0$$
Comoelmomentoangular=velocidadangularxMomentodeinercia,tambiénpodemosescribir$$w_{cubesat}J_{cubesat}+w_{reacción}J_{reacción}=0$$
Siqueremosgirarlaruedadereacción,manteniendosuvelocidadpordebajodeunavelocidadlímite(mecánicaypolítica),paragirarlacubetaenalmenosciertavelocidad,podemosreescribirestocomo$$\frac{J_{reacción}}{J_{cubesat}}>=\frac{w_{cubesat}}{w_{reacción}}$$
Paralosnúmerosutilizadosenlaotrapublicación,queremosqueelcubsatgire90gradosen30segundos.
Hayvariasformasdehacerlo,acontinuaciónseilustranalgunosejemplos
Enunextremo,lacurvaazuleslamássimpledesdeelpuntodevistaconceptual,paraacelerarlacubetalomásrápidoposibleconunimpulsodetorsión,yluegopermitirquesedesplaceaunavelocidadconstantedurante30segundos,antesdefrenarloconfuerzaalfinal.Eláreabajolacurvadevelocidadeselángulogirado.Mediominutoa0,5rpmesuncuartodevueltao90grados.
Sonposiblesotrastrayectoriasquetienenelmismoancho(30segundos)ylamismaáreadebajodelacurva(cuartodevuelta).
Enelotroextremo,lacurvarojamuestralatrayectoriadeaceleraciónmásbajaposible.Paraobtenerlamismaáreabajolacurva,necesitamoseldobledelavelocidadangularmáxima.
Lacurvaamarillausamenospardetorsión(esdecir,corrientedelmotor)quelatrayectoriaazul,yunavelocidadpicomásbajaquelaroja.
Lacurvaverdeesloqueveríamossielmotorrealmentenoestuvieraencendidodurantelafasede"costa", la fricción del rodamiento lo ralentizaría ligeramente, lo que produciría un pequeño par de frenado en la rotación del cubo.
Cuál de estas trayectorias es preferible depende de la masa del sistema, del consumo de energía y posiblemente de algunas preferencias personales. Como regla general, el óptimo no se encuentra en ningún extremo.
Podemos calcular la inercia del volante requerida y el par motor de forma independiente .
El cálculo ya está algo adelantado por el motor que ya se ha elegido. Tiene una velocidad máxima de 6k rpm, un par máximo de 3.5 m, y un MOI de 800 n.
Momento de inercia del volante
El Jcubesat publicado es de 30m kgm2.
Como suposición, la velocidad máxima del motor permitida para esta maniobra es de 3k rpm, para permitir un poco en la mano. Se pueden acomodar otras opciones de velocidad máxima del motor simplemente cambiando el MOI del volante.
Si queremos admitir una velocidad máxima de cubos a 0.5 rpm, Jreaction debe ser al menos 1 / 6000o de Jcubesat, a 5u kgm2, por lo que Jflywheel debe ser al menos 4.2m kgm2.
Si queremos apoyar la maniobra de aceleración lenta con una velocidad máxima de cubos a 1 rpm, entonces Jreaction debe ser al menos 1/3000 de Jcubesat, a 10u kgm2, por lo que un Jflywheel mayor que 9.2u kgm2.
Par motor
Podemos calcular el par del motor con respecto al cubo o al volante, no necesitamos hacer ambas cosas, ya que sabemos que cada uno tiene la misma magnitud de momento angular. Hagámoslo con respecto al cubo.
Primero calcula qué tan cerca podemos llegar a la trayectoria de los impulsos
Con el par motor nominal de 3.5m Nm operando en 30m Jcubesat, la aceleración es de 3.5m / 30m = 117m rad / s2. La velocidad de cubosat final requerida es 0.5 rpm = 52 m rad / s. Esto da un tiempo de aceleración de 52m / 117m = 444mS. Este tiempo es mucho menos de 30 segundos, por lo que no es irrazonable llamarlo "impulso".
Ahora calcule el par de torsión requerido para la trayectoria de par más bajo.
La velocidad final de cubesat es 1 rpm = 104m rad / s, obtenida en 15 segundos. Eso es una aceleración de 104m / 15 = 6.9m rad / s2. El par requerido para acelerar la J de 30m kgm2 a una aceleración de 6.9m es 30m x 6.9m = 207u Nm, una fracción del torque nominal del motor.
Se requiere menos del doble de este par para obtener la trayectoria amarilla, con su correspondiente ahorro en velocidad máxima y, por lo tanto, en la masa del volante.