Muestre que la potencia disipada en una resistencia durante un tiempo infinito es igual a la energía almacenada en un condensador de descarga

Navega tus respuestas
0

Estoy aprendiendo sobre las respuestas transitorias de RC y si un condensador cargado está conectado a una sola resistencia, su voltaje disminuirá exponencialmente. Entiendo esto y cómo se deriva su ecuación. También entiendo cómo se obtiene la energía almacenada en un condensador.

Entonces, dado un tiempo infinito, toda la energía se disipará en la resistencia. Me gustaría probar que la integral de p (t) dt entre 0 e infinito es igual a 0.5CV₀². He intentado sustituir en i² (t) R por p (t) y luego equiparar i a -Cdv (t) / dt, pero termino con algo que ya no es una integral, a saber, de la forma RC²∫dv (t) / dt entre 0 e infinito.

¿Qué tipo de sustitución debo hacer para permitir que esto se integre? Gracias por leer.

    
pregunta LCHL

2 respuestas

0

El voltaje a través de un condensador que se descarga (exponencialmente) a través de una resistencia es: -

\ $ V = V_0 \ times e ^ {\ dfrac {-t} {CR}} \ $ donde Vo es el voltaje en t = 0

La corriente es el voltaje anterior dividido por R

Entonces, el poder es \ $ \ dfrac {V_0 ^ 2} {R} \ veces e ^ {\ dfrac {-2t} {CR}} \ $

Tenga en cuenta que el término exponencial ahora tiene un 2 en él porque se convirtió en cuadrado.

Ahora, si integras el poder acumulas la energía: -

\ $ \ dfrac {V_0 ^ 2} {R} \ times \ dfrac {CR} {- 2} \ left [e ^ {\ dfrac {-2t} {CR}} \ right] _0 ^ \ infty \ $

Si resolvió la integral entre 0 e infinito, se trata de -1, por lo que la energía que toma la resistencia es simplemente: -

\ $ \ dfrac {CV_0 ^ 2} {2} \ $

    
respondido por el Andy aka
0

La ecuación \ $ i = C \ frac {dv} {dt} \ $ describe la relación entre el voltaje y la corriente para el capacitor. Como ha encontrado, no puede simplemente sustituir esta expresión por la corriente de resistencia. Tienes que resolver el circuito por la corriente (o voltaje).

Para resolver el voltaje, sume las corrientes de la resistencia y del condensador: \ $ 0 = \ frac v R + C \ frac {dv} {dt} \ $

Esta es una ecuación diferencial que tiene la solución \ $ v = V_0e ^ {- t / RC} \ $ donde \ $ V_0 \ $ es el voltaje en \ $ t = 0 \ $

Alternativamente, podrías resolver la corriente de resistencia:
\ $ v = Ri \ $, entonces \ $ \ frac {dv} {dt} = R \ frac {di} {dt} \ $ y por lo tanto \ $ - i = CR \ frac {di} {dt} \ $

El signo negativo es necesario aquí porque la corriente del condensador es el negativo de la corriente de la resistencia.

Esto tiene la misma forma que la ecuación de voltaje; su solución es \ $ i = I_0e ^ {- t / RC} \ $ donde \ $ I_0 = V_0 / R \ $

Ahora puedes cuadrar cualquiera de estos y multiplicar o dividir por la resistencia para obtener una ecuación de potencia instantánea e integrarla para obtener la energía.

    
respondido por el user28910

Lea otras preguntas en las etiquetas

¿Cuáles son las cosas que debo saber al operar un osciloscopio? ¿Pueden dañarse las placas de circuitos impresos u otros dispositivos electrónicos (circuitos integrados, transistores) si se apaga la electricidad? [duplicar]