¿Cómo encuentro la resistencia de un toroide o cilindro hueco que se ha cortado a lo largo de un radio, es decir, un corte recto desde el centro hasta el radio exterior? El radio exterior del cilindro es ro y el radio interior es ri . El grosor es w . La resistividad que se da es p . La forma general de la resistencia es p l / w , donde l es la longitud. El corte se considera muy estrecho.
Editar: La resistencia se mide a través del cilindro desde las [caras expuestas de] la parte cortada.
Debes cortar en rodajas a lo largo de la circunferencia.
Cada sector será \ $ \ text {d} r \ $ wide (de \ $ r \ $ a \ $ r + \ text {d} r \ $), \ $ W \ $ tall y \ $ 2 \ pi R \ $ largo descuidando el corte radial.
Dado que todos esos cortes disminuirán linealmente el mismo voltaje a lo largo de la misma distancia angular, podemos asumir que no habrá corrientes radiales como lo confirma esta simulación Femm4.2 de un toroide ranurado de cobre sólido alimentado por 1V.
Elgráficodevolatilidadanteriornomuestraungradientedevoltajeradial,esdecir,notienecampoeléctricoradialnidensidaddecorriente.
Porlotanto,todasesasporcionessimplementeestaránconectadasenparalelo,aligualqueenunaespeciedeconjuntodepuentesdeWheatstonebalanceadosdondelasramas"horizontales" no llevan corriente.
Esquemas de elementos discretos
En este caso, es mucho más simple sumar las conductividades individuales en lugar de las resistencias en paralelo.
Cada sector tendría resistencia \ $ R = \ rho \ frac {l} {S} \ $ y así \ $ G = \ sigma \, \ frac {S} {l} \ $ en este caso
$$ \ text {d} G = \ sigma \, \ frac {W} {2 \ pi r} \, \ text {d} r \ quad \ Rightarrow \ quad G = \ sigma \, \ frac { W} {2 \ pi} \ int_ {r_i} ^ {r_o} \ frac {\ text {d} r} {r} = \ sigma \, \ frac {W} {2 \ pi} \, \ ln \ frac {r_o} {r_i} $$
Cambiando a resistencia obtenemos
$$ R = \ rho \, \ frac {2 \ pi} {W \ ln \ frac {r_o} {r_i}} $$
Lo suficientemente interesante si \ $ r_o \ approx r_i \ $ lo anterior tiende a
$$ R = \ rho \, \ frac {2 \ pi} {W \ ln \ frac {r_o} {r_i}} \ rightarrow \ rho \, \ frac {2 \ pi \, \ frac {r_o + r_i} {2}} {W (r_o-r_i)} = \ rho \, \ frac {l} {W \ Delta r} $$
... tiende a lo que se calculó primero con el ancho del anillo y la longitud promedio.
Finalmente, puede resultar interesante descubrir la distribución de densidad actual.
Nuevamente, cada sección puede estudiarse por sí sola, así
$$ I = VG \ quad \ text {d} I = V \ text {d} G = V \ sigma \ frac {W} {2 \ pi r} \ text {d} r = V \ sigma \ frac {\ text {d} S} {2 \ pi r} $$
siendo \ $ \ text {d} S = W \ text {d} r \ $ la sección transversal infinitesimal de la división
$$ J = \ frac {\ text {d} I} {\ text {d} S} = \ frac {\ sigma} {2 \ pi r} V $$
En resumen, tenemos una distribución de densidad de corriente hiperbólica contra el radio. Esto también es bastante consistente: radio interior, camino más corto, corriente más alta.
Gráfico de densidad de corriente y J (r) a lo largo del radio rojo en la parte superior del toroide
Y nuevamente confirmado por la simulación de elementos finitos.
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