KVL en el circuito de la serie RCL

Lo que hiciste es correcto. Tienes una expresión para corriente. La solución manual ha usado un enfoque diferente y han obtenido la expresión para el voltaje.

Finalmente lo que quieres es voltaje. Empecemos desde donde te has detenido.

$$ i (t) = Ae ^ {- 9t} + Be ^ {- t} $$

entonces el voltaje a través del capacitor: $$ \ begin {align *} v (t) & = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt \\ & = - 27 \ left [\ frac {A} {9} e ^ {- 9t} + Be ^ {- t} \ right] \ end {align *} $$

Ahora tenemos que evaluar las constantes \ $ A \ $ y \ $ B \ $. De las condiciones iniciales, sabe que \ $ i (0 ^ -) = 0 \ $ y actual a través de un inductor no puede variar instantáneamente. Lo que da: $$ 0 = A + B \ tag1 $$

Ahora necesitamos una condición más. Sabemos que el voltaje en el condensador no puede variar instantáneamente, y \ $ v (0 ^ -) = 16 \ $.

$$ 16 = -3A-27B \ tag2 $$

Desde (1) y (2) puede resolver para \ $ A \ $ y \ $ B \ $. Obtendrá la misma respuesta que se da en el manual de la solución una vez que envíe estos valores a la expresión de voltaje.