Para responder directamente a su pregunta, necesitaríamos un esquema de su configuración existente. Como una suposición inicial, diría que un Zener en paralelo con una resistencia no es un método adecuado. Los diodos Zener requieren una cantidad mínima de corriente para funcionar correctamente y esto se debe tener en cuenta con la cantidad de corriente que el pin de contraste puede generar, etc. Se vuelve demasiado complicado para que una pantalla LCD tan simple funcione correctamente.
La pantalla LCD HD44780 puede aceptar un voltaje entre 0V y 5V (inclusive) en el pin Vo para controlar el contraste de la pantalla. El valor de voltaje óptimo es alrededor de 0.5V. Hay algunos métodos para hacer que esto funcione:
1) Simplemente conectando el pin de contraste a GND se obtiene una pantalla funcional en el HD44780.
2) Una resistencia entre Vo y GND como ha descrito. Sin embargo, esto no le permite ajustar el contraste sin cambiarlo por una resistencia de valor diferente.
3) El potenciómetro de 10 k entre el riel de 5 V y el pin Vo es un método muy popular, ya que le permite ajustar el contraste de la pantalla. Sugiero este método.
4) Una señal PWM de un microcontrolador (Arduino es el método más fácil) o un temporizador 555 conectado al pin de contraste a través de un filtro de paso bajo RC para suavizar el cambio de voltaje y darle un voltaje de CC entre 0 y 5V.
Tenga en cuenta que si está utilizando un Arduino (muy común con el HD44780), el riel de 5 V no se verá afectado por el nivel de batería que está usando para alimentarlo. El 5V que produce un arduino está regulado internamente hasta que el nivel de la batería cae por debajo de ~ 4V.