Dado el modelo de estado para un circuito RLC, ¿cómo puedo demostrar que es asintóticamente estable? Así que mi asignación de estado es la siguiente:
x1 = Vc
x2 = iL
Y utilizando las ecuaciones KVL y KCL puedo obtener un modelo de estado para las primeras derivadas y obtener las matrices correspondientes y la función de transferencia.
¿Cómo puedo encontrar la estabilidad asintótica ahora?
Cualquier ayuda es apreciada!
Bueno, de acuerdo con ' Ley de Faraday ' en una serie de circuitos RLC:
$$ \ text {V} _ {\ space \ text {C}} \ left (t \ right) +0+ \ text {V} _ {\ space \ text {R}} \ left (t \ derecha) - \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = - \ text {V} _ {\ space \ text {L}} \ left (t \ right) \ tag1 $$
Ahora, sabemos algunas cosas:
Entonces, obtenemos:
$$ \ text {V} _ {\ space \ text {C}} '\ left (t \ right) +0+ \ text {V} _ {\ space \ text {R}}' \ left ( t \ right) - \ text {V} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) = - \ text {V} _ {\ space \ text {L}}' \ left (t \ right) \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ cdot \ frac {1} {\ text {C}} + 0+ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) \ cdot \ text {R} - \ text {V} _ {\ space \ text {in}}' \ left (t \ right) = - \ text { I} _ {\ space \ text {in}} '' \ left (t \ right) \ cdot \ text {L} \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ \ text {V} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) = \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ cdot \ frac {1} {\ text {C}} + \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) \ cdot \ text {R} + \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '' \ left (t \ right) \ cdot \ text {L} \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ \ text {V} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) = \ text {I} _ {\ space \ text {in}}' '\ left (t \ right) \ cdot \ text {L} + \ text {I} _ {\ space \ text {en}} '\ left (t \ right) \ cdot \ text {R} + \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ cdot \ frac {1} {\ text {C}} \ tag5 $$
Suponiendo que las condiciones iniciales son iguales a \ $ 0 \ $ y que utiliza transformada de Laplace :
$$ \ text {s} \ cdot \ text {v} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right) = \ text {s} ^ 2 \ cdot \ text {i} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right) \ cdot \ text {L} + \ text {s} \ cdot \ text {i} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right) \ cdot \ text {R} + \ text {i} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ cdot \ frac { 1} {\ text {C}} \ space \ Longleftrightarrow \ space $$ $$ \ text {i} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right) = \ frac {\ text {s} \ cdot \ text {v} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right)} {\ text {L} \ cdot \ text {s} ^ 2 + \ text {s} \ cdot \ text {R} + \ frac {1} {\ text {C}}} \ tag6 $$
Utilizando el ' Teorema de convolución ' de la transformada de Laplace:
$$ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = \ int_0 ^ t \ mathscr {L} _ \ text {s} ^ {- 1} \ left [\ text {v} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {s} \ right) \ right] _ {\ left (\ text {y} \ right)} \ cdot \ mathscr {L } _ \ text {s} ^ {- 1} \ left [\ frac {\ text {s}} {\ text {L} \ cdot \ text {s} ^ 2 + \ text {s} \ cdot \ text { R} + \ frac {1} {\ text {C}}} \ right] _ {\ left (t- \ text {y} \ right)} \ space \ text {d} \ text {y} = $$ $$ \ int_0 ^ t \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (\ text {y} \ right) \ cdot \ mathscr {L} _ \ text {s} ^ {- 1} \ left [\ frac {\ text {s}} {\ text {L} \ cdot \ text {s} ^ 2 + \ text {s} \ cdot \ text {R} + \ frac {1} {\ text { C}}} \ right] _ {\ left (t- \ text {y} \ right)} \ space \ text {d} \ text {y} \ tag7 $$
Y \ $ \ mathscr {L} _ \ text {s} ^ {- 1} \ left [\ frac {\ text {s}} {\ text {L} \ cdot \ text {s} ^ 2 + \ text {s} \ cdot \ text {R} + \ frac {1} {\ text {C}}} \ right] _ {\ left (t- \ text {y} \ right)} \ $, es igual a:
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